Orthogonal Convolutional Neural Networks

目录

• 概
• 主要内容
  • 符号说明
  • $Y=Conv(K,X)$的俩种表示
    • $Y=K\tilde{X}$
    • $Y=\mathcal{K}X$
  • kernel orthogonal regularization
  • orthogonal convolution

Wang J, Chen Y, Chakraborty R, et al. Orthogonal Convolutional Neural Networks.[J]. arXiv: Computer Vision and Pattern Recognition, 2019.

@article{wang2019orthogonal,
title={Orthogonal Convolutional Neural Networks.},
author={Wang, Jiayun and Chen, Yubei and Chakraborty, Rudrasis and Yu, Stella X},
journal={arXiv: Computer Vision and Pattern Recognition},
year={2019}}

概

本文提出了一种正交化CNN的方法.

主要内容

符号说明

$X \in \mathbb{R}^{N \times C \times H \times W}$: 输入
$K \in \mathbb{R}^{M \times C \times k \times k}$: 卷积核
$Y \in \mathbb{R}^{N \times M \times H' \times W'}$: 输出

$$Y= Conv(K,X)$$

$Y=Conv(K,X)$的俩种表示

$Y=K\tilde{X}$

此时$K\in \mathbb{R}^{M \times Ck^2}$, 每一行相当于一个卷积核, $\tilde{X} \in \mathbb{R}^{Ck^2 \times H'W'}$, $Y \in \mathbb{R}^{M \times H'W'}$.

$Y=\mathcal{K}X$

此时$X \in \mathbb{R}^{CHW}$相当于将一张图片拉成条, $\mathcal{K} \in \mathbb{R}^{MHW' \times CHW}$, 同样每一次行列作内积相当于一次卷积操作, $Y \in \mathbb{R}^{MH'W'}$.

kernel orthogonal regularization

相当于要求$KK^T=I$(行正交) 或者$K^TK=I$(列正交), 正则项为

$$L_{korth-row}= \|KK^T-I\|_F,\\ L_{korth-col}= \|K^TK-I\|_F.$$

作者在最新的论文版本中说明了, 这二者是等价的.

orthogonal convolution

作者期望的便是$\mathcal{K}\mathcal{K}^T=I$或者$\mathcal{K}^T\mathcal{K}=I$.

用$\mathcal{K}(ihw,\cdot)$表示第$(i-1) H'W'+(h-1)W'+w$行, 对应的$\mathcal{K}(\cdot, ihw)$表示$(i-1) HW+(h-1)W+w$列.

则$\mathcal{K}\mathcal{K}^T=I$等价于

$$\tag{5} \langle \mathcal{K}(ih_1w_1, \cdot), \mathcal{K}(jh_2w_2,\cdot)\rangle = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & (i,h_1,w_1)=(j,h_2,w_2) \\ 0, & else. \end{array} \right.$$

$\mathcal{K}^T\mathcal{K}=I$等价于

$$\tag{10} \langle \mathcal{K}(\cdot, ih_1w_1), \mathcal{K}(\cdot, jh_2w_2)\rangle = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & (i,h_1,w_1)=(j,h_2,w_2) \\ 0, & else. \end{array} \right.$$

实际上这么作是由很多冗余的, 可以进一步化为更简单的形式.
(5)等价于

$$\tag{7} Conv(K, K,padding=P, stride=S)=I_{r0},$$

其中$I_{r0}\in \mathbb{R}^{M\times M \times (2P/S+1) \times (2P/S+1)}$仅在$[i,i,\lfloor \frac{k-1}{S} \rfloor+1,\lfloor \frac{k-1}{S} \rfloor+1], i=1,\ldots, M$处为$1$其余元素均为$0$.

$$P= \lfloor \frac{k-1}{S} \rfloor \cdot S.$$

其推导过程如下(这个实在不好写清楚):

$\mathcal{K}^T\mathcal{K}$在$S=1$特殊情况下的特殊情况下, (10)等价于

$$\tag{11} Conv (K^T,K^T, padding=k-1, stride=1)=I_{c0},$$

其中$I_{c0} \in \mathbb{R}^{C \times C \times (2k-1) \times (2k-1)}$, 同样仅在$(i,i,k,k)$处为1, 其余非零.$K^T \in \mathbb{R}^{C \times M \times k \times k}$是$K$的第1, 2坐标轴进行变换.

同样的

$$\min_K \|\mathcal{K}\mathcal{K}^T-I\|_F$$

与

$$\min_K \|\mathcal{K}^T\mathcal{K}-I\|_F$$

是等价的.

另一方面, 最开始提到的kernel orthogonal regularization是orthogonal convolution的必要条件(但不充分)$KK^T=I$, $K^TK=I$分别等价于:

$$Conv(K,K,padding=0)=I_{r0} \\ Conv(K^T, K^T, padding=0)=I_{c_0},$$

其中$I_{r0} \in \mathbb{R}^{M \times M \times 1 \times 1}$, $I_{c0} \in \mathbb{R}^{C \times C \times 1 \times 1}$.