[Kaiming]Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification

目录

• 概
• 主要内容
  • PReLU
  • Kaiming 初始化
    • Forward case
  • Backward case

He K, Zhang X, Ren S, et al. Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification[C]. international conference on computer vision, 2015: 1026-1034.

@article{he2015delving,
title={Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification},
author={He, Kaiming and Zhang, Xiangyu and Ren, Shaoqing and Sun, Jian},
pages={1026--1034},
year={2015}}

概

本文介绍了一种PReLU的激活函数和Kaiming的参数初始化方法.

主要内容

PReLU

\[f(y_i) = \left \{ \begin{array}{ll} y_i, & y_i >0, \\ a_i y_i, & y_i \le 0. \end{array} \right. \]

其中\(a_i\)是作为网络的参数进行训练的.
等价于

\[f(y_i)=\max(0, y_i) + a_i \min (0,y_i). \]

特别的, 可以一层的节点都用同一个\(a\).

Kaiming 初始化

Forward case

\[\mathbf{y}_l=W_l\mathbf{x}_l+\mathbf{b}_l, \]

在卷积层中时, \(\mathbf{x}_l\)是\(k\times k \times c\)的展开, 故\(\mathrm{x}_l\in \mathbb{R}^{k^2c}\), 而\(\mathbf{y}_l \in \mathbb{R}^{d}\), \(W_l \in \mathbb{R^{d \times k^2c}}\)(每一行都可以视作一个kernel), 并记\(n=k^2c\).

\[\mathbf{x}_l=f(\mathbf{y}_{l-1}), \]

则

\[c_l = d_{l-1}. \]

假设\(w_l\)与\(x_l\)(注意没粗体, 表示\(\mathbf{w}_l, \mathbf{x}_l\)中的某个元素)相互独立, 且\(w_l\)采样自一个均值为0的对称分布之中.

则

\[Var[y_l] = n_l Var [w_lx_l] = n_lVar[w_l]E[x_l^2], \]

除非\(E[x_l]=0\), \(Var[y_l] = n_lVar[w_l]Var[x_l]\), 但对于ReLu, 或者 PReLU来说这个性质是不成立的.

如果我们令\(b_{l-1}=0\), 易证

\[E[x_l^2] = \frac{1}{2} Var[y_{l-1}], \]

其中\(f\)是ReLU, 若\(f\)是PReLU,

\[E[x_l^2] = \frac{1+a^2}{2} Var[y_{l-1}]. \]

下面用ReLU分析, PReLU是类似的.

故

\[Var[y_l] = \frac{1}{2} n_l ar[w_l]Var[y_{l-1}], \]

自然我们希望

\[Var[y_i]=Var[y_j] \Rightarrow \frac{1}{2}n_l Var[w_l]=1, \forall l. \]

Backward case

\[\tag{13} \Delta \mathbf{x}_l = \hat{W}_l \Delta \mathbf{y}_l, \]

\(\Delta \mathbf{x}_l\)表示损失函数观念与\(\mathbf{x}_l\)的导数, 这里的\(\mathbf{y}_l\)与之前提到的\(\mathbf{y}_l\)有出入, 这里需要用到卷积的梯度回传, 三言两语讲不清, \(\hat{W}_l\)是\(W_l\)的一个重排.

因为\(\mathbf{x}_l=f(\mathbf{y}_{l-1})\), 所以

\[\Delta y_l = f'(y_l) \Delta x_{l+1}. \]

假设\(f'(y_l)\)与\(\Delta x_{l+1}\)相互独立, 所以

\[E[\Delta y_l]=E[f'(y_l)] E[\Delta x_{l+1}] = 0, \]

若\(f\)为ReLU:

\[E[(\Delta y_l)^2] = Var[\Delta y_l] = \frac{1}{2}Var[\Delta x_{l+1}]. \]

若\(f\)为PReLU:

\[E[(\Delta y_l)^2] = Var[\Delta y_l] = \frac{1+a^2}{2}Var[\Delta x_{l+1}]. \]

下面以\(f\)为ReLU为例, PReLU类似

\[Var[\Delta x_l] = \hat{n}_l Var[w_l] Var[\Delta y_l] = \frac{1}{2} \hat{n}_l Var[w_l] Var[\Delta x_{l+1}], \]

这里\(\hat{n}_l=k^2d\)为\(\mathbf{y}_l\)的长度.

和前向的一样, 我们希望\(Var[\Delta x_l]\)一样, 需要

\[\frac{1}{2}\hat{n}_l Var[w_l]=1, \forall l. \]

是实际中，我们前向后向可以任选一个(因为误差不会累积).