Geometric GAN

目录

• 概
• 主要内容
  • McGAN
  • 结合SVM
    • 训练$\zeta$
    • 训练$g_{\theta}$
  • 理论分析
    • 证明

Jae Hyun Lim, Jong Chul Ye, Geometric GAN.

概

很有趣, GAN的训练过程可以分成

1. 寻找一个超平面区分real和fake;
2. 训练判别器, 使得real和fake分得更开;
3. 训练生成器, 使得real趋向错分一侧.

主要内容

McGAN

本文启发自McGAN, 在此基础上, 有了下文.

结合SVM

设想, GAN的判别器$D(x) = S(\langle w, \Phi_{\zeta}(x) \rangle)$, 其中$S$是一个激活函数, 常见如sigmoid, 先假设其为identity(即$D(x)=\langle w, \Phi_{\zeta}(x) \rangle$).

McGAN 是借助$\langle w, \Phi_{\zeta}(x)\rangle$来构建IPM, 并通过此来训练GAN. 但是，注意到， 若将$\Phi_{\zeta}(x)$视作从$x$中提取出来的特征, 则$\langle w, \Phi_{\zeta}(x)\rangle$便是利用线性分类器进行分类，那么很自然地可以将SVM引入其中(训练判别器的过程.

$$\begin{array}{rcl} \min_{w, b} & \frac{1}{2} \|w\|^2 + C \sum_i (\xi_i + \xi_i') & \\ \mathrm{subject \: to} & \langle w, \Phi_{\zeta}(x_i) \rangle + b \ge 1-\xi_i & i=1,\ldots, n\\ & \langle w, \Phi_{\zeta}(g_{\theta}(z_i)) \rangle + b \le \xi_i'-1 & i=1,\ldots,n \\ & \xi_i, \xi_i' \ge 0, \: i=1,\ldots,n. \end{array}$$

类似于

$$\tag{13} \min_{w,b} \: R_{\theta}(w,b;\zeta),$$

其中

$$\tag{14} \begin{array}{ll} R_{\theta}(w,b;\zeta) = & \frac{1}{2C n} \|w\|^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \max (0, 1-\langle w, \Phi_{\zeta} (x_i) \rangle -b) \\ & + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \max (0, 1+ \langle w, \Phi_{\zeta}(g_{\theta}(z_i))\rangle+b). \end{array}$$

进一步地， 用以训练$\zeta$:

$$\tag{15} \min_{w,b,\zeta} \: R_{\theta}(w,b;\zeta).$$

SVM关于$w$有如下最优解

$$w^{SVM} := \sum_{i=1}^n \alpha_i \Phi_{\zeta}(x_i) - \sum_{i=1}^n \beta_i \Phi_{\zeta} (g_{\theta}(z_i)),$$

其中$\alpha_i, \beta_i$只有对支持向量非零.

定义

$$\mathcal{M} = \{\phi \in \Xi | |\langle w^{SVM}, \phi \rangle + b | \le 1\}$$

为margin上及其内部区域的点.

于是

$$\tag{18} \begin{array}{ll} R_{\theta}(w,b;\zeta) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \langle w^{SVM}, s_i \Phi_{\zeta} (g_{\theta}(z_i))-t_i \Phi_{\zeta}(x_i) \rangle + \mathrm{constant}, \end{array}$$

其中

$$\tag{19} t_i = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & \Phi_{\zeta}(x_i) \in \mathcal{M} \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. , \quad s_i = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & \Phi_{\zeta}(g_{\theta}(z_i)) \in \mathcal{M}\\ 0, & \mathrm{otherwise}. \end{array} \right.$$

训练$\zeta$

于是$\zeta$由此来训练

$$\zeta \leftarrow \zeta +\eta \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \langle w^{SVM}, t_i \nabla_{\zeta} \Phi_{\zeta}(x_i) - s_i \nabla_{\zeta}\Phi_{\zeta} (g_{\theta}(z_i)) \rangle .$$

训练$g_{\theta}$

就是固定$w,b,\zeta$训练$\theta$.

所以

$$\min_{\theta} \: L_{w, b, \zeta}(\theta),$$

其中

$$L_{w,b,\zeta}(\theta)= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n D(g_{\theta}(z_i)),$$

的

$$\theta \leftarrow \theta+\eta \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \langle w^{SVM}, s_i \nabla_{\theta}\Phi_{\zeta} (g_{\theta}(z_i)) \rangle .$$

理论分析

$n \rightarrow \infty$的时候

定理1： 假设$(D^*,g^*)$是(24), (25)交替最小化解, 则$p_{g^*}(x)=p_x(x)$几乎处处成立, 此时$R(D^*,G^*）=2$.

注: 假体最小化是指在固定$g^*$下, $R(D^*,g^*)$最小，在固定$D^*$下$L(D^*,g^*)$最小.

证明

注：文中附录分析了各种GAN的超平面分割解释, 挺有意思的.