Towards Evaluating the Robustness of Neural Networks

目录

• 概
• 主要内容
  • 基本的概念
  • 目标函数
    • 如何选择c
    • 如何应对Box约束
  • \(L_2\) attack
  • \(L_0\) attack
  • \(L_{\infty}\) attack

Nicholas Carlini, David Wagner, Towards Evaluating the Robustness of Neural Networks

概

提出了在不同范数下\(\ell_0, \ell_2, \ell_{\infty}\)下生成adversarial samples的方法, 实验证明此类方法很有效.

主要内容

基本的概念

本文主要针对多分类问题, 假设神经网络\(F:x \in \mathbb{R}^n \rightarrow y \in \mathbb{R}^m\), 其网络参数为\(\theta\).

假设:

\[F(x)=\mathrm{softmax}(Z(x))=y, \]

其中\(\mathrm{softmax}(x)_i=\frac{e^{x_i}}{\sum_j e^{x_j}}\).

\[C(x) = \arg \max_i F(x)_i, \]

为\(x\)的预测类, 不妨设\(C^*(x)\)为其真实的类别.

Adversarial samples 的目标就是构建一个与\(x\)相差无几的\(x'\)(\(\|x-x'\|\)足够小)，但是\(C(x')\not =C^*(x)\). 很多构建Adversarial samples可以指定类别:

• Average Case: 在不正确的标签中随机选取类别;
• Best Case: 对所有不正确的标签生成Adversariak samples, 并选择最容易成功(即骗过网络)的类别;
• Worst Case:对所有不正确的标签生成Adversariak samples, 并选择最不容易成功的类别.

文章中介绍了不少现有的方法, 这里不多赘述.

目标函数

一般可以通过如下问题求解\(x'=x+\delta\):

\[\begin{array}{ll} \min & \mathcal{D}(x, x+\delta) \\ \mathrm{s.t.} & C(x+\delta)=t \\ & x + \delta \in [0, 1]^n, \end{array} \]

其中\(\mathcal{D}\)衡量\(x,x+\delta\)之间的距离, 常常为\(\ell_0, \ell_2, \ell_{\infty}\).

但是\(C(x+\delta)=t\)这个条件离散, 这个问题很难直接求解, 作者给出的思路是构造一些函数\(f(x,t)\), 使得当且仅当\(f(x,t)\le0\)的时候此条件满足.
则问题转换为:

\[\begin{array}{ll} \min & \mathcal{D}(x, x+\delta) \\ \mathrm{s.t.} & f(x,t) \le 0 \\ & x + \delta \in [0, 1]^n, \end{array} \]

进一步

\[\begin{array}{ll} \min & \mathcal{D}(x, x+\delta) + cf(x,t) \\ \mathrm{s.t.} & x + \delta \in [0, 1]^n. \end{array} \]

作者给出了7种符合此类条件的函数(作者尤为推荐第6种):

如何选择c

binary search

如何应对Box约束

图片的元素需要满足\(0\le x_i \le 1\), 如何满足此约束:

• 简单粗暴地对其裁剪, 大于1的为1, 小于0的为0, 但是这种方法在梯度下降方法比较复杂(如带momentum)的时候效果可能不会太好(既然momemtum要记录变量改变的方向, 而我们又擅自对此方向进行更改);
• 用\(f(\min (\max(x+\delta,0),1)\)替代\(f(x+\delta)\), 我的理解是, 每次不改变原变量\(x'\), 然后把clip后的\(x'\)喂给\(f\). 作者说此类方法容易方法在次优解间来回振荡的现象;
• 定义

\[\delta_i = \frac{1}{2}(\tanh (w_i) +1)-x_i, \]

于是我们只需优化\(w_i\), 且保证\(x_i + \delta_i \in [0, 1]\).

\(L_2\) attack

\[\min \quad \|\frac{1}{2}(\tanh(w)+1)-x\|_2^2+c\cdot f(\frac{1}{2}(\tanh(w)+1), t), \]

其中

\[f(x',t)=\max(\max \{Z(x')_i:i \not =t\}-Z(x')_t, -\kappa), \]

是对第6种方法的一个小改进, 其中\(\kappa\)反应了我们对误判发生的信心.

\(L_0\) attack

因为\(L_0\)范数不可微, 所以每一次, 我们先利用\(L_2\) attack来寻找合适的\(\delta\), 令\(g=\nabla f(x+\delta)\), 根据\(g_i \delta_i\)判断每个像素点的重要性, 最不重要的我们删去(根据文中的意思是永久删去).

• Input: \(x, c\)
• \(I=\empty\)
• Do ...:
  1. 计算在\(L_2\)下的解\(x+\delta\)（倘若在\(c\)下找不到, 则在\(2c\)条件下找(嵌套)）;
  2. \(g=\nabla f(x+\delta)\);
  3. \(i=\arg \min_i g_i \cdot \delta_i, i \not \in I\), 然后\(I=I \cup \{i\}\);

在利用\(L_2\)寻找\(\delta\)的过程中, 若失败, 令\(c=2c\)并重复进行, 直到其成功或者超过了最大的迭代次数.

\(L_{\infty}\) attack

\(\|\delta\|_{\infty}\)作为惩罚项(?)只会针对个别元素, 这在实际实验的时候并不友好, 往往会出现振荡, 于是作者想了一种替代

\[\min \quad c \cdot f( x+ \delta) + \sum_i [(\delta_i-\tau)^+], \]

这样我们就把可以关注部分突出而非个别.