A pure L1-norm principal component analysis

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目录

• 问题
• 细节
  • $L_1-PCA$的损失函数
  • $L_1-PCA$算法
    • 投影
    • 坐标系
    • 载荷向量

A pure L1-norm principal component analysis

虽然没有完全弄清楚其中的数学内涵，但是觉得有趣，记录一下.

问题

众所周知，一般的PCA(论文中以$L_2-PCA$表示)利用二范数构造损失函数并求解，但是有一个问题就是会对异常值非常敏感. 所以，已经有许多的PCA开始往$\ell_1$范数上靠了，不过我所知道的和这篇论文的有些不同.

像是Zou 06年的那篇SPCA中:

注意到，$\ell_1$作用在$\beta$上，以此来获得稀疏化.

这篇论文似乎有些不同，从回归的角度考虑, 一般的回归问题是最小化下列损失函数:

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\beta_0 + \mathbf{\beta}^Tx_i))^2.$$

为了减小异常值的影响，改用:

$$\sum_{i=1}^n |y_i - (\beta_0 + \mathbf{\beta}^Tx_i)|.$$

而作者指出，上面的问题可以利用线性规划求解:

回到PCA上，我们希望找到一个方向，样本点到此方向上的$\ell_1$距离之和最短(可能理解有误的).

细节

$L_1-PCA$的损失函数

首先，假设输入的数据$x_i \in \mathbb{R}^m$, 并构成数据矩阵$X \in \mathbb{R}^{n \times m}$. 首先，作者希望找到一个$m-1$维的子空间，而样本点到此子空间的$\ell_1$距离和最短. 在此之前，需要先讨论距离的计算.

从上图可以看到，一个点到一个超平面$S$的$\ell_1$距离并不像普通的欧氏距离一样，实际上，可以这么定义点到子空间的距离:

$$d(x,S)=\inf \{\|x-z\|| \forall z \in S\}.$$

假设超平面S由$\beta^T x=0$刻画(假设其经过原点), 则:
首先，对于一个样本点$x_i$, 选择一个$j$， 令$y_i=z_i, i = \not j$， 而$y_j$定义为(假设$\beta_j = \not 0$)：

$$-\frac{\sum_{i = \not j} \beta_i x_i}{\beta_j}$$

于是容易证明$\beta^T y=0$， 也就是$y \in S$.

下面证明， 如果这个$j$使得$|\beta_j| \ge |\beta_i|, \forall i = \not j$, 那么$|x-y|$就是$x$的$\ell_1$距离. 首先证明，在只改变一个坐标的情况下是最小的, 此时:

$$|x-y| = |x_j+\frac{\sum_{i = \not j} \beta_i x_i}{\beta_j}|=|\frac{\sum_{i } \beta_i x_i}{\beta_j}|=\frac{|\beta^Tx|}{|\beta_j|}.$$

因为分子是固定的，所以分母越大的距离越短，所以在只改变一个坐标的情况下是如此，下面再利用数学归纳法证明，如果距离最短，那么必须至多只有一个坐标被改变.
$m=2$的时候容易证明，假设$m=k-1$的时候已经成立，证明$m=k$也成立:
如果$x, y$已经存在一个坐标相同，那么根据前面的假设可以推得$m=k$成立，所以$x, y$必须每个坐标都完全不同. 不失一般性，选取$\beta_1, \beta_2$，且假设均不为0， 且$|\beta_1| \le |\beta_2|$.
令$y'_1=x_1, y'_2=y_2-\frac{\beta_1(x_1-y_1)}{\beta_2}$，其余部分于$y$保持相同.则距离产生变化的部分为:

$$|x_1-y_1'|+|x_2-y_2'|=|y_2-x_2 - \frac{\beta_1(x_1-y_1)}{\beta_2}|\le |y_2-x_2|+|x_1-y_1|$$

所以，新的$y'$有一个坐标相同，而且距离更短了，所以$m=k$也成立.

所以，我们的工作只需要找到最大$|\beta_j|$所对应的$j$即可.

所以，我们的损失函数为:

$$\sum_i \frac{|\beta^T x_i|}{|\beta_j|}.$$

因为比例的关系，我们可以让$\beta_j=-1$而结果不变:

$$\sum_i |x_{ij}-\sum_{k = \not j}\beta_kx_{ik}|.$$

把$x_{ij}$看成是$y$，那么上面就变成了一个$\ell_1$回归问题了. 当然我们并不知道$j$，所以需要进行$m$次运算，来找到$j^*$使得损失函数最小. 这样，我们就找到了一个$m-1$维的子空间.

算法如下:

$L_1-PCA$算法

因为PCA的目的是寻找一个方向，而不是一个子空间，所以需要不断重复寻找子空间的操作，这个地方我没怎么弄懂，不知是否是这样:

1. 找到了一个子空间
2. 将数据点投影到子空间上
3. 寻找新的坐标系，则数据会从$k$-->$k-1$维
4. 在新的数据中重复上面的操作直至$k=1$.

有几个问题:

投影

对应算法的第4步，其中

需要一提的是，这里应该是作者的笔误，应当为:

$$(I_{j^* \ell}^{j^*})^m = \beta_{\ell}^m, \ell = \not j^*,$$

理由有二:

首先，投影，那么至少要满足投影后的应当在子空间中才行，以3维样本为例:$x=(x_1, x_2, x_3)^T, j=2$,
按照修改后的为:

$$z = (x_1, \beta_1x_1+\beta_3 x_3, x_3)$$

于是$\beta^Tz=0$, 而按照原先则不成立，
其次，再后续作者给出的例子中也可以发现，作者实际上也是按照修改后的公式进行计算的.

另外，提出一点对于这个投影方式的质疑. 因为找不到其理论部分，所以猜想作者是想按照$\ell_1$的方式进行投影，但是正如之前讲的，$\ell_1$的最短距离的投影是要选择$|\beta_j|$最大的$j$，而之前选择的$j^*$并不能保证这一点.

坐标系

论文中也有这么一段话.

既然$\ell_1$范数不具备旋转不变性，那么如何保证这种坐标系的选择是合适的呢，还有，这似乎也说明，我们最后选出来的方向应该不是全局最优的吧.

载荷向量

$\alpha^k$是第k个子空间的载荷向量，所以，所以和SPCA很大的一个区别是它并不是稀疏的.
另外，它还有一个性质，和由$V^k$张成的子空间正交，这点很好证明，因为$Z^k\beta=0$.

总的来说，我觉得这个思想还是蛮有意思的，但是总觉得缺乏一点合理的解释，想当然的感觉...