等式约束优化（可行点）

目录

• 策略一 消除等式约束
• 策略二 Newton方向
  • 另外一种解释
  • Newton减量——停止准则
  • 可行下降方法的算法
  • Newton方法和消除法

《Convex Optimization》

之前，讲的下降方法以及Newton方法都是在无约束条件的前提下的。这里讨论的是在等式约束（线性方程）的前提下讨论的。我们研究的是下面的凸优化问题：

\[\begin{array}{ll} minimize & f(x) \\ s.t. & Ax=b \end{array} \]

其中\(f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, A \in \mathbb{R}^{p\times n}, rank A = p<n\)
请不要怀疑\(rank A = p<n\)条件的可靠性，否则，只需找出其线性无关组即可。而且，显然，如果\(Ax=b\)如果无解，那么优化问题同样无解。
通过对对偶问题，及KKT条件的分析，可以知道，该优化问题存在最优解的充要条件是，存在\(v^* \in \mathbb{R}^p\)满足：

\[Ax^*=b, \quad \nabla f(x^*) + A^Tv^*=0 \]

策略一 消除等式约束

我们首先确定矩阵\(F \in \mathbb{R}^{n \times (n-p)}\)和向量\(\hat{x} \in \mathbb{R}^n\)，用以参数化可行集：

\[\{x|Ax=b\} = \{Fz+\hat{x}|z \in \mathbb{R}^{n-p} \} \]

只需，\(\hat{x}\)为\(Ax=b\)的一个特解即可。\(F\)是值域为\(A\)的零空间的任何矩阵（满足\(A(Fz)=0\)，即\(Fz\)可以取得所有\(Ax=0\)的解）。于是等式约束问题就可以变为无约束问题：

\[minimize \quad \widetilde{f}(z) = f(Fz+\hat{x}) \]

我们也可以为等式约束构造一个最优的对偶变量\(v^*\):

\[v^*=-(AA^T)^{-1}A\nabla f(x^*) \]

另外需要注意的是，如果\(F\)是一个消除矩阵，那么任意的\(FT\)同样也是合适的消除矩阵，其中\(T \in \mathbb{R}^{(n-p) \times (n-p)}\)是非奇异的。

策略二 Newton方向

我们希望导出等式约束问题：

\[\begin{array}{ll} minimize & f(x) \\ s.t. & Ax=b \end{array} \]

在可行点\(x\)处䣌Newton方向\(\Delta x_{nt}\)，将目标函数换成在x附近的二阶泰勒近似：

\[\begin{array}{ll} minimize & \hat{f}(x+v)=f(x)+\nabla f(x)^{T}v + \frac{1}{2}v^T\nabla^2 f(x) v \\ s.t. & A(x+v)=b \end{array} \]

注意上述问题时关于\(v\)的优化问题。
根据我们在文章开头提到的最优性条件，可以得到：

其中\(\Delta x_{nt}\)表示Newton方向，\(w\)是该二次问题的最优对偶变量。

另外一种解释

我们可以将Newton方向\(\Delta x_{nt}\)及其相关向量\(w\)解释为最优性条件

\[Ax^*=b, \quad \nabla f(x^*) + A^Tv^*=0 \]

的线性近似方程组的解。
我们用\(x + \Delta x_{nt}\)代替\(x^*\)，用\(w\)代替\(v^*\)，并将第二个方程中的梯度项换成其在\(x\)附近的线性近似，从而得到：

\[A(x + \Delta x_{nt})=b, \quad \nabla f(x+\Delta x_{nt})+A^Tw\approx \nabla f(x) + \nabla^2 f(x) \Delta x_{nt} + A^Tw = 0 \]

利用\(Ax = b\)，以上方程变成：

\[A\Delta x_{nt}=0, \quad \nabla^2 f(x) \Delta x_{nt} + A^Tw = -\nabla f(x) \]

这上面定义的一样。

Newton减量——停止准则

我们将等式约束问题的Newton减量定义为：

\[\lambda (x) = (\Delta x_{nt}^T \nabla^2 f(x) \Delta x_{nt})^{1/2} \]

这和无约束情况表示的是一样的，因此也可以进行同样的解释。
\(f\)在\(x\)处的二阶泰勒近似为：

\[\hat{f}(x+v) = f(x) + \nabla f(x)^T v + (1/2) v^T \nabla^2 f(x) v \]

\(f(x)\)与二次模型之间的差值满足：

\[f(x) - \inf \{\hat{f}(x+v) | A(x+v) = b\} = \lambda (x)^2/2 \]

从上面可以看出，\(\lambda^2(x)/2\)对\(x\)处的\(f(x) - p^*\)给出了基于二次模型的一个估计，这可以作为设计好的停止准则的基础。

可行下降方法的算法

注意，下面的算法初始点为可行点。

Newton方法和消除法

对原始问题采用Newton方法的迭代过程和对利用消除法简化后采用Newton方法过程完全一致，证明翻阅《凸优化》。