神经网络一丢丢
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终究有一天，还是得接触这个让人捉摸不透的东西。我总感觉他太过神秘，所以对他没有什么好感。无奈，他如此实用，不得不拜访一下。我不管什么CNN和RNN，这些花里胡哨的东西，我感觉就像边角料。
参考《Pattern Recongition》
源
神经网络，就其类别来讲是非线性判别，而非线性判别，主要是因为激活函数。输入层得到输入，经过线性函数（超平面）的分隔，输入的特征被映射为其他一些特征，如果激活函数是简单的0-1函数（虽然没法反向求导了）。就是那样本映射到超体（是这么形容吗？）的顶点上，再经过一层，网络，对上述点进行分隔，幸许就能把样本成功分类了。当然，这些都是简单的情况，而且，俩层神经网络的能力似乎并不够。
神经网络框架
这是一个三层神经网络。
Backpropagation 反向传播
我不知道有没有别的什么神经网络不用这个算法的，我还没有太深入了解，但我感觉，神经网络最核心的东西就是反向传播，还有框架本身。
下面，过一遍这个梯度的计算。
符号说明
\(假定有L层神经元，输入层有k_0=l个结点（神经元），在第r层有k_r个结点，r=1,2,\ldots,L.\)
\(有N个训练样本，(x(i),y(i))，i=1,2,\ldots,N\)
\(w_j^r表示第r层第j个结点\)
权重更新，按照普通的梯度下降为：
\(f(\cdot)为激活函数\)
损失函数（这里以最小平方误差为例）
梯度计算 \(\Delta w_j^r=-\mu\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{N}\delta_j^r(i)y^{r-1}(i)\)
\(首先，y_k^{r-1}(i)，是第r-1层第k个结点的输出（激活后），相应的v_k^{r-1}为没有激活的输出。\)
\(而w_{jk}^r是连接r-1层第k个结点和r层第j个结点的权重。\)
\(简便的写法就是v_j^r(i)=w_j^{t\mathrm{T}}y^{r-1}(i)\)
\(其中y_0^{r-1}(i)\equiv+1\)
\(那么损失函数关于w_j^r的导数（梯度）就是：\)
\(又\)
\(记\)
\(则：\)
计算 \(\delta_j^r(i)\)
\(r=L\)
\(所以\)
\(r < L\)
\(因为v_j^{r-1}(i)是第r层所有结点的输入，所以：\)
\(也就是\)
\(令\delta^{r}=[\delta_1^r,\delta_2^r,\ldots,\delta_{k_r}^r]^{\mathrm{T}}，那么\)
\(\delta^{r-1}=M^r\delta^r其中M_{jk}^r=\frac{\partial v_k^r}{\partial v_j^{r-1}}又\)
\(所以M_{jk}^r(i)=w_{kj}^r f^{'}(v_j^{r-1}(i))\)
\(所以，总的来说\)
\(\delta^r=M^{r+1}M^{r+2}\ldots M^{L}\delta^L\)
\(这意味着，对于第r层，我们只要记录w^r(old)和M^r就足够迭代更新了，而且计算M^r的工作可以在前向传递的时候完成，也可以在反向传播的时候再计算。\)
\(我想，这也是Pytorch等框架计算梯度的原理，当然这只是猜测，因为我还没有实际上去看。\)
