Deflation Methods for Sparse PCA

目录

• 背景
• 总括
• Hotelling's deflation
  • 公式
  • 特点
• Projection deflation
  • 公式
  • 特点
    • 半正定
• Schur complement deflation
• Orthogonalized projection deflation
  • 公式
• Orthogonalized Hotelling's deflation
  • 公式
  • 特点

背景

有很多Sparse PCA 算法运用了收缩算法，但是呢，往往只考虑如何解决，每一次迭代的稀疏化问题，而忽略了收缩算法的选择。

总括

Hotelling's deflation

公式

$A_t = A_{t-1}-x_tx_t^{\mathrm{T}}A_{t-1}x_tx_t^{\mathrm{T}}$

特点

如果$x_t$是$A_{t-1}$的特征向量
那么
$A_tx_t = (A_{t-1}-x_tx_t^{\mathrm{T}}A_{t-1}x_tx_t^{\mathrm{T}})x_t =0$
所以，$x_t$依然是A_t的特征值为0所对应的特征向量。
但是，如果$x_t$不是特征向量,$A_tx_t=0$这个性质就不存在了，而且，$A_t$不一定是半正定矩阵。

Projection deflation

公式

$A_t = (I-x_tx_t^{\mathrm{T}})A_{t-1}(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})$

特点

半正定

假设$A_{t-1}$是半正定的。那么，对于任意的$x$
$x^{\mathrm{T}}A_tx = [x^{\mathrm{T}}(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})]A_{t-1}[(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})x]\geq0$

另外$A_tx_t=0$
$A_tx_t=(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})A_{t-1}(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})x_t=0$

不过，$A_sx_t \quad s>t$的值往往不是0

Schur complement deflation

Orthogonalized projection deflation

公式

$A_t = (I-\mathcal{P}^{(t)})A(I-\mathcal{P}^{(t)})$
$\mathcal{P}^{(t)}$是投影矩阵，满足：
$\mathcal{P}^{(t)\mathrm{T}}\mathcal{P}^{(t)}=\mathcal{P}^{(t)}$
$\mathcal{P}^{(t)}\mathcal{P}^{(t)}=\mathcal{P}^{(t)}$
若
$X=[x_1,x_2,\ldots,x_t]=QR$
则：
$\mathcal{P}^{(t)}=Q_{1...t}Q_{1...t}^{\mathrm{T}}$（假设X的秩为t）
其中$Q_{1...t}$为$Q$的前t列。

Orthogonalized Hotelling's deflation

公式

$A_t = A_{t-1} - q_tq_t^{\mathrm{T}}A_{t-1}q_tq_t^{\mathrm{T}}$
$q_t=\frac{(I-\mathcal{P}^{(t-1)})x_t}{\|(I-\mathcal{P}^{(t-1)})x_t\|}$

特点

XXX