Spectral Bounds for Sparse PCA: Exact and Greedy Algorithms[贪婪算法选特征]
概括
这篇论文，不像以往的那些论文，构造优化问题，然后再求解这个问题（一般都是凸化）。而是，直接选择某些特征，自然，不是瞎选的，论文给了一些理论支撑。但是，说实话，对于这个算法，我不敢苟同，我觉得好麻烦的。
Sparse PCA Formulation
非常普遍的问题
Optimality Conditions
这一小节，论文给出了，上述问题在取得最优的情况下应该符合条件。
条件1
如果\(x^{*} \quad \mathbf{Card}(x^{*})=k\)是上述问题的最优解，那么\(z^{*}\)（由\(x^{*}\)非零元组成）是子举证\(A_k^{*}\)（\(x^{*}\)非零元所在位置，\(A\)的\(k\)行\(k\)列）的主特征向量。
这个条件是显然的。
条件2
感觉和上面也没差啊。
Eigenvalue Bounds
这个定理，可以由一个事实导出：
\(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\)为一对称矩阵，\(\lambda_i\)为其特征值，且降序排列。
\(A_{n-1}\)为\(A\)的任意\(n-1\)级主子式，\(\delta_i \quad i=1,2,\ldots,n-1\)为其特征值，那么有下面分隔：
\(\lambda_1 \leq \delta_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \delta_{n-1} \leq \lambda_n\)
根据这个事实，再用归纳法就可以推出上面式子。
分隔定理的证明(《代数特征值问题》p98)
存在正交变换\(Q\),使得\(Q^{\mathrm{T}}BQ\)右下角变为对角阵。若正交矩阵\(S\)使得\(S^{\mathrm{T}}B_{n-1}S\)为对角阵，那么，
且右下角矩阵的特征值并没有变化。
令：
设\(a\)只有\(s\)个成分不为0，若\(a_j=0\),那么\(\alpha_j\)就是\(X\)的特征值。
经过一个适当的置换矩阵\(P\)变换，我们可以得到：
(注意，下面的\(b\)和上面的\(b\)不是一个\(b\),只是为了与书上的符号相一致)
那么只需要考虑
的特征值就行了，因为\(\gamma_i\)是矩阵\(A\)和\(A_{n-1}\)所共有的。
考虑\(Z\)的特征多项式：
\((\alpha-\lambda)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^{s}(\beta_i-\lambda)-
\mathop{\sum}\limits_{j=1}^{s}b_j^2\mathop{\prod}\limits_{i \neq j}(\beta_i-\lambda)=0\)
假定\(\beta_i\)中只有\(t\)个不同的值，不失一般性，可令它们为\(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t\),
且重数为\(r_1,r_2,\ldots,r_s \quad \mathop{\sum}\limits_{i}r_i=s\)
等式左端有因子:
\(\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{t}(\beta_i-\lambda)^{r_i-1}\)
因此，\(\beta_i\)为\(Z\)的特征值，重数为\(r_i-1\)
等式除以\(\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{t}(\beta_i-\lambda)^{r_i}\)可得：
\(0=(\alpha-\lambda)-
\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{t}c_i^2(\beta_i-\lambda)^{-1}
=a-f(\lambda)\)
\(Z\)的剩余的特征值是\(a-f(\lambda)=0\)的根。
根据正负的特点，和连续函数（实质上是分段的）根的存在性定理，可以知道
\(a-f(\lambda)\)的\(t+1\)个根\(\delta_i\)满足：
\(\delta_1>\beta_1>\delta_2>\ldots>\beta_t>\delta_{t+1}\)
这样所有根的序列就得到了，就是我们要证的。整理一下可以得到，
除了刚刚讲的\(t+1\)个根，
还有\(s-t\)个\(\beta_i\)相同的特征值，以及
\(n-s-1\)个\(\gamma_i\).
另外一个性质
这个性质不想去弄明白了
算法
我的理解这样的：
step1.选第一个特征，就是对角元最大的那个
step2.在第一个的基础上，再选一个，这次会形成一个\(2\times2\)的子矩阵，所以，需要选择令这个矩阵首特征值最大的第二个特征。
step3.反复进行，直到k?
这是前向的，还有对应的后向的，一个个减。论文推荐是，俩种都进行，然后挑二者中比较好的一个。
未免太复杂了些？
代码
只写了前向的代码：
import numpy as np
def You_eig_value(C): #幂法 只输出特征值
d = C.shape[1]
x1 = np.random.random(d)
while True:
x2 = C @ x1
x2 = x2 / np.sqrt(x2 @ x2)
if np.sum(np.abs(x2-x1)) < 0.0001:
break
else:
x1 = x2
return x1 @ C @ x1
def forward(C):
n = C.shape[0]
label1 = set(range(n))
label = [np.argsort(np.diag(C))[-1]]
label1 -= set(label)
count = 0
while len(label1) > 0:
count += 1
maxvalue = 0
maxi = -1
for i in label1:
value = You_eig_value(C[label+[i],:][:,label + [i]])
if value > maxvalue:
maxvalue = value
maxi = i
label.append(maxi)
label1 -= {maxi}
return label
f = open('C:/Users/biiig/Desktop/pitprops.txt')
C = []
for i in f:
C.append(list(map(float, i.split())))
f.close()
C = np.array(C)
forward(C) # [12, 6, 5, 9, 1, 0, 8, 7, 3, 2, 11, 4, 10]
