Sparse Principal Component Analysis via Rotation and Truncation
SPCArt算法，利用旋转（正交变换更为恰当，因为没有体现出旋转这个过程），交替迭代求解sparse PCA。
对以往一些SPCA算法复杂度的总结
注：\(r\)是选取的主成分数目，\(m\)为迭代次数,\(p\)为样本维度，\(n\)为样本数目。本文算法，需要先进行SVD，并未在上表中给出。
Notation
论文概述
\(A = U\Sigma V^{\mathrm{T}}\)
\(V_{1:r}=[V_1,V_2,\ldots, V_r] \in \mathbb{R}^{p\times r}\)就是普通PCA的前\(r\)个载荷向量（loadings,按照特征值降序排列）
\(\forall 旋转矩阵（正交矩阵）R \in \mathbb{R}^{r \times r}\)
\(V_{1:r}R\)也是彼此正交的，张成同一子空间的向量组。
原始问题
如果能解出来，当然好，可是这是一个很难求解的问题，所以需要改进。
问题的变种
\(V_{1:r}\)直接用\(V\)表示了，为了符号的简洁。
变成这个问题之后，我们所追求的便是\(X\)了，\(X_i\)，就是我们要的载荷向量，显然，这个问题所传达出来的含义是：
1.我们希望\(XR\)与\(V\)相差不大，意味着\(X_i\)近似正交且张成同一个子空间。
2.\(\|X_i\|_1\)作为惩罚项，可以起到稀疏化的作用（这是1-范数的特点）。
算法
这是一个交替迭代算法，我们来分别讨论。
固定\(X\),计算\(R\)
当固定\(X\),之后，问题就退化为：
这个问题在Sparse Principal Component Analysis（Zou 06）这篇论文里面也有提到。
上述最小化问题，可以变换为
\(max \quad tr(V^{\mathrm{T}}XR), \quad s.t. \quad R^{\mathrm{T}}R=I\)
若\(X^{\mathrm{T}}V=WDQ^{\mathrm{T}}\)
就是要最大化：
\(tr(QDW^{\mathrm{T}}R)=tr(DW^{\mathrm{T}}RQ)\leq tr(D)\)
当\(R = WQ^{\mathrm{T}}\)(注意\(W^{\mathrm{T}}RQ\)是正交矩阵)。
固定\(R\)，求解\(X\) （\(Z =VR^{\mathrm{T}}\)）
1-范数
注意：\(\|VR^{\mathrm{T}}-X\|_F^2=\|(V-XR)R^{\mathrm{T}}\|_F^2\)，所以这个问题和原始问题是等价的。
经过转换，上述问题还等价于：
\(max_{X_i} \quad Z_i^{\mathrm{T}}X_i-\lambda\|X_i\|_1 \quad i=1,2,\ldots,r\)
通过分析（蛮简单的，但是不好表述），可以得到：
\(X_i^*=S_\lambda(Z_i)/\|S_\lambda(Z_i)\|_2\)
\(T-\ell_0\)（新的初始问题）
\(R\)的求解问题没有变化，考虑\(R\)固定的时候，求解\(X\)。
等价于：
\(\mathop{min}\limits_{X_{ij},Z_{ij}} \quad (Z_{ij}-X_{ij})^2+\lambda^2\|X_{ij}\|_0\)
显然，若\(X_{ij}^* \neq 0\),\(X_{ij}^*=Z_{ij}\)，此时函数值为\(\lambda^2\)
若\(X_{ij}^* = 0\),值为\(Z_{ij}^2\)，所以，为了最小化值，取：
\(min \{Z_{ij}^2,\lambda^2\}\),也就是说，
\(X_{ij}=0 \quad if\:Z_{ij}^2>\lambda^2\) 否则， \(X_{ij}=Z_{ij}\)
\(X_i^*=H_\lambda(Z_i)/\|H_\lambda(Z_i)\|_2\)
T-sp 考虑稀疏度的初始问题
\(\lambda \in \{0, 1, 2,\ldots,p-1\}\)
\(R\)的求法如出一辙，依旧只需考虑在\(R\)固定的情况下，如何求解\(X\)的情况。
等价于：
\(max \quad Z_i^{\mathrm{T}}X_i\) 在条件不变的情况下。
证明挺简单的，但不好表述，就此别过吧。
最优解是：\(X_i^*=P_\lambda(Z_i)/\|P_\lambda(Z_i)\|_2\)
T-en 考虑Energy的问题
\(X_i = E_\lambda(Z_i)/\|E_\lambda(Z_i)\|_2\)
文章到此并没有结束，还提及了一些衡量算法优劣的指标，但是这里就不提了。大体的思想就在上面，我认为这篇论文好在，能够把各种截断方法和实际优化问题结合在一起，很不错。
代码
def Compute_R(X, V):
W, D, Q_T = np.linalg.svd(X.T @ V)
return W @ Q_T
def T_S(V, R, k): #k in [0,1)
Z = V @ R.T
sign = np.where(Z < 0, -1, 1)
truncate = np.where(np.abs(Z) - k < 0, 0, np.abs(Z) - k)
X = sign * truncate
X = X / np.sqrt((np.sum(X ** 2, 0)))
return X
def T_H(V, R, k): #k in [0,1) 没有测试过这个函数
Z = V @ R.T
X = np.where(np.abs(Z) > k, Z, 0)
X = X / np.sqrt((np.sum(X ** 2, 0)))
return X
def T_P(V, R, k): #k belongs to {0, 1, 2, ..., (p-1)} 没有测试过这个函数
Z = V @ R.T
Z[np.argsort(np.abs(Z), 0)[:k], np.arange(Z.shape[1])] = 0
X = Z / np.sqrt((np.sum(Z ** 2, 0)))
return X
def Main(C, r, Max_iter, k): #用T_S截断 可以用F范数判断是否收敛，为了简单直接限定次数
value, V_T = np.linalg.eig(C)
V = V_T[:r].T
R = np.eye(r)
while Max_iter > 0:
Max_iter -= 1
X = T_S(V, R, k)
R = Compute_R(X, V)
return X.T
结果，稀疏的程度大点，反而效果还好点。
