BZOJ1925: [Sdoi2010]地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

 
对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10⁹

 

什么神仙题啊不是很会做根本就不会做好吗！！

考虑DP，一开始我想的方程是f[i][j]表示1~i的集合，末尾为j且是山峰的方案数

因为对称，所以求出最终答案后*2就是标解了

问题是怎么转移啊？！！

根据题解考虑联立方程解题：

g[i][j]与f[i][j]表示差不多，只不过末尾是山谷

又因为将f[i][j]中的所有数字变为n-x+1（置反），就可以得到g

所以f[i][j]=g[i][i-j+1]

考虑正经转移：f[i][k]= ∑ g[i-1][j]  (1<=j<k)

又: g[i-1][j]=f[i-1][i-j]， 联立得：f[i][k]=∑ f[i-1][i-j]  (1<=j<k)

f[i][k]=∑ f[i-1][j]  (i-k+1<=j<=i-1)

f[i][k-1]=∑ f[i-1][j]  (i-k+2<=j<=i-1)

f[i][k]-f[i][k-1]=f[i-1][i-k+1]

f[i][k]=f[i][k-1]+f[i-1][i-k+1]

又因为是64MB就滚动一下就好了

//MT_LI
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[2][4210];
int main()
{
    int n,mod;
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    if(n==1){printf("1\n");return 0;}
    f[1][1]=1;
    int now=1,last=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        now^=1;last^=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[now][j]=(f[now][j-1]+f[last][i-j+1])%mod;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[n%2][i])%mod;
    printf("%d\n",ans*2%mod);
    return 0;
}