概念
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
- 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.
问题描述
解决思路
*算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。
*则我们有下面的结果：
* 1. v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
* 2.当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
* 3.当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
装入的方式:
*4.v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
*5.v[i] : 表示当前商品的价值
*6.v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
*7.当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
代码实现
/**
* @param worth 价值数组 wotrh[i] 第i个物品的价值
* @param weight 重量数组 weight[i] 第i个物品的重量
* @param totalWeight 背包总的承重
*/
public static void knapsackProblem(int[] worth, int[] weight, int totalWeight) {
//1. 初始化数组 data[i][j] 前i个物品能装入容量为j的背包
int[][] data = new int[worth.length + 1][totalWeight + 1];
//1.1 路径数组
int[][] path = new int[worth.length + 1][totalWeight + 1];
//2.给数组复制 i 行 j 列
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
for (int j = 0; j < data[i].length; j++) {
// 2.1 i=0 表示0个物品 j=0 表示j 容量为0
if (i == 0 || j == 0) {
data[i][j] = 0;
//2.2 weight[i] >j 表示 第i个物品的重量大于背包总载重
} else if (weight[i - 1] > j) {
data[i][j] = data[i - 1][j];
// 2.3 weight[i] ,j 表示 第i个物品的重量小于于背包总载重
} else {
int previous = data[i - 1][j];
int current = worth[i - 1] + data[i - 1][j - weight[i - 1]];
if (current > previous) {
data[i][j] = current;
path[i][j] = 1;
} else {
data[i][j] = previous;
}
}
}
}
for (int[] datum : data) {
System.out.println(Arrays.toString(datum));
}
for (int[] datum : path) {
System.out.println(Arrays.toString(datum));
}
int i = path.length-1;
int j = path[0].length-1;
while (i>0&&j>0){
if (path[i][j]==1){
System.out.printf("第%d个商品放入背包\n",i);
j -= weight[i-1];
}
i--;
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] worth = {1500, 3000, 2000};
int[] weight = {1, 4, 3};
int totalWeight = 4;
knapsackProblem(worth, weight, totalWeight);
}
