最小点权覆盖和最大点权独立集
最小点权覆盖和最大点权独立集
•参考资料
•二分图
定义: 二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设$G=(V,E)$是一个无向图，如果顶点$V$可分割为两个互不相交的子集$(A,B)$，并且图中的每条边$(i，j)$所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集$(i\ in\ A,j\ in\ B)$，则称图G为一个二分图。
给定一个二分图 $G$，在$G$的一个子图$M$中,$M$的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称$M$是一个匹配。
二分图最小点覆盖和最大独立集都可以转化为最大匹配求解。在这个基础上，把每个点赋予一个非负的权值，这两个问题就转化为：二分图最小点权覆盖和二分图最大点权独立集。
•最小点权覆盖
定义
从$U$或者$V$合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。
建模
1、先对图二分染色，对于每条边两端点的颜色不同，分成U,V点集
2、然后建立源点S，向其中一种颜色的点连一条容量为该点权值的边
3、建立汇点T，由另一种颜色的点向T连一条容量为该点权值的边
4、对于二分图中原有的边，改为由与S相连的点连向与T相连的点的一条容量为INF的边跑一遍最大流，其结果就是最小点权和。
•最大点权独立集
定义
在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。(其实它是最小点权覆盖的对偶问题)
建模
先求一次最小点权覆盖集，再用总权值减去它，就得到了最大点权独立集。
即 答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》。
