数据结构学习-第二次总结
互评作业2-树，二叉树的总结
1-思维导图
2-要点总结
1.树的性质
对于度为k的树：
1、节点数=度数+1
2、第i层最多节点数：k(i-1)，i≥1
3、高为i的k叉树节点数最多：(ki-1)/(k-1)，i≥1
4、n个节点的k叉树深度最小为：ceil( logk( n(k-1)+1 ) )
2.树的储存结构
多重链表：定长链节点个数（二叉树等）、不定长链节点个数
三重链表：每个节点三个指针域（第一个孩子节点、双亲节点、第一个兄弟节点）
3.二叉树的性质
1、节点数=度数+1
2、第i层节点数：2(i-1)，i≥1
3、高为i的二叉树节点数最多：2i-1，i≥1
4、n个节点的二叉树深度最小为：ceil( log2(n+1) )，为理想平衡二叉树时取最小值
5、度为0的节点数=度为2的节点数+1。（因为 节点数n=n0+n1+n2 且 分支数 n-1=n1+2n2，联立可得之）
6、n个节点的完全二叉树从1起对节点从上到下从左到右的编号，编号为i的节点：父节点编号为 floor(i/2)，除非该节点已为父节点；左孩子节点编号为2i，除非2i>n即该节点已为叶子节点；右孩子编号为2i+1，除非2i+1>n即右孩子不存在。
推而广之，对于完全m叉树编号为i的节点，其父节点编号为 **floor((i+m-2)/m ) **，第j个孩子编号为 mi+j-m+1 。
4.二叉树的储存
1、顺序存储：数组。（适用于完全二叉树的存储，一般二叉树可以通过填充虚拟节点当成完全二叉树来存储。缺点是浪费空间）
2、链式存储：
二叉链表（左孩子、右孩子）：n个节点的二叉树有n+1个空指针域（空指针域即2n0+n1=n2+1+n0+n1=n+1）。线索二叉树通过利用空指针域指向直接前驱、后继节点来避免遍历时使用堆栈，如中序线索二叉树。
三叉链表（父节点、左孩子、右孩子）
5.二叉树的建立与遍历
建立：根据输入的序列构建用二叉链表存储的二叉树。这里假定序列为字符串，每个字符对应树中一个节点。
遍历：根据输入序列构建二叉树时需要遍历输入序列，遍历方式有：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历，
6.特殊二叉树
1、理想平衡二叉树（只有最后一层可能不满）
满二叉树（是理想平衡二叉树，且各层都满）
完全二叉树（是理想平衡二叉树，且最后一层节点依次从左填到右）
2、正则（正规）二叉树：只有度为0或2的节点的二叉树
3、线索二叉树：将二叉树的空指针域用来存储直接前驱、直接后继节点（称为线索）的二叉树，这样遍历就不需要用栈了。
通过遍历二叉树进行二叉树的线索化，根据遍历方法的不同分为前序线索二叉树、中序线索二叉树、后序线索二叉树
前序线索二叉树中不能找到某些节点的直接前驱节点、后序线索二叉树不能找到某些节点的直接后继节点，因此通常用中序线索二叉树。
4、哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径长度WPL最小的二叉树。
WPL=Σ（叶节点权值×路径长度）= 非根节点的权值和 = 非叶节点的权值和
根节点权值 与 叶节点权值和 相等
没有度为1的节点（即哈夫曼树是正则二叉树）、给定权值序列构造的哈夫曼树不唯一但WPL相同。
5、二叉查找树（亦称二叉排序树、二叉搜索树）BST：每个节点的左子树的所有节点的值小于该节点值，右子树的所有节点值小于该节点值的二叉树。
6，平衡二叉树（亦称平衡二叉查找树、AVL树）：每个节点的左右子树深度最多差1的二叉查找树。
7.树与森林的转换
树、森林的遍历：
a、二叉树：前序、中序、后序、层次
b、树：前序、后序
c、森林：前序（即按树的前序遍历依次遍历每棵树）、中序（即按树的后序遍历方式依次遍历每棵树）
将树或森林转为二叉树或反向转换后：
二叉树的前序、树的前序、森林的前序遍历序列一样。
3-疑难问题及解决方案
疑难问题：
二叉树删除结点函数，如何在删除结点后维持二叉树的性质和形状。
解决方案：构造两个函数，一个负责查找删除，一个负责维持二叉树的性质和形状。
代码展示：
int Delete(BiTree *p){
BiTree q, s;
if ((*p)->rchild == NULL) { // 右子树空 则只需要重接它的左子树
q = *p;
*p = (*p)->lchild;
free(q);
}else if ((*p)->lchild == NULL){ // 左子树空 则只需要重接它的右子树
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}else{ // 左右子树都不空
q = *p;
s = (*p)->lchild;
while (s->rchild) { // 向右到尽头，找到待删结点的前驱
q = s;
s = s->rchild;
}
(*p)->data = s->data; // s 指向被删除结点的直接前驱 （将被删结点前驱的值取代被删结点的值）
if (q != *p)
q->rchild = s->lchild; // 重接 q 的右子树
else
q->lchild = s->lchild; // 重接 q 的左子树
free(s);
}
return TRUE;
}
int DeleteBST(BiTree * T, int key){
if (!*T) // 不存在关键字等于 key 的元素
return FALSE;
else{
if (key == (*T)->data)
return Delete(T);
else if (key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
