背包问题求具体方案（动态规划）

背包问题求具体方案

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

1 4

解题思路（见代码注释）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

constexpr int N = 1010;

typedef struct {
    int volume;
    int weight;
} goods;

int main() {
    int n = 0; // 物品个数
    int v = 0; // 背包容量
    std::cin >> n >> v; // 输入物品个数和背包容量
    
    vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(N, 0)); // dp[i][j]表示从第i个物品到最后一个物品,装入容量为j的背包的最优解
    vector<goods> goodsList(N, {0});
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        std::cin >> goodsList[i].volume >> goodsList[i].weight; // 输入每个物品的体积和价值
    }
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = 1; j <= v; j++) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j]; // 不选物品i
            if (j >= goodsList[i].volume) { // 选和不选第i件物品时取最大值
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - goodsList[i].volume] + goodsList[i].weight);
            }
        }
    }
    // 经过上面的逆序取物的01背包操作后,我们让最优解落到了dp[1][m]中
    // 因此当我们从第一个物品开始出发去找最优解的路径时,那么此时背包容量应该为j
    int j = v; // 背包的剩余容量
    // 去寻找最优解的路径
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 若dp[i][j]能通过dp[i+1][j-goodsList[i].volume]得到,则一定要选第i个物品
        if (j >= goodsList[i].volume && dp[i][j] == dp[i + 1][j - goodsList[i].volume] + goodsList[i].weight) {
            std::cout << i << " ";
            // 由于选择的是这件物品,因此背包的剩余质量就是j-v[i]
            j -= goodsList[i].volume;
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}