背包问题求方案数（动态规划）

背包问题求方案数

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 10^9+7的结果。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示 方案数 模 10^9+7 的结果。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

2

解题思路：

基于01背包问题

1.未放入i物品的最大值(X) > 放入i物品的最大值(Y) => 即方案数 = X的方案数
2.未放入i物品的最大值(X) < 放入i物品的最大值(Y) =>即方案数 =Y的方案数
3.未放入i物品的最大值(X)==放入i物品的最大值(Y) => 即方案数 = X的方案数+Y的方案数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

constexpr int N = 1010;
constexpr int MOD = 1e9 + 7;
int main() {
    int n = 0; // 物品数量
    int v = 0; // 背包容量
    
    std::cin >> n >> v;
    vector<int> dp(N, 0); // 背包容量为j时能装入物品的最大价值
    vector<int> solutions(N, 0); // 背包容量为j时最优选法的方案数
    solutions[0] = 1; // 容量为0时的最大价值的方案数为1,就是一个都不选
    /*
    * 思路：
    * 1.未放入i物品的最大值(X) > 放入i物品的最大值(Y) => 即方案数 = X的方案数
    * 2.未放入i物品的最大值(X) < 放入i物品的最大值(Y) =>即方案数 =Y的方案数
    * 3.未放入i物品的最大值(X)==放入i物品的最大值(Y) => 即方案数 = X的方案数+Y的方案数
    */
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int volume = 0;
        int weight = 0;
        std::cin >> volume >> weight;
        for (int j = v; j >= volume; j--) {
            int maxv = max(dp[j], dp[j - volume] + weight);
            int cnt = 0;
            // 1、未放入i物品的最大值(X) > 放入i物品的最大值(Y) => 即方案数 = X的方案数
            if (maxv == dp[j]) { // 第j个物品不选
                cnt += solutions[j];
            }
            // 2、未放入i物品的最大值(X) < 放入i物品的最大值(Y) =>即方案数 =Y的方案数
            if (maxv == dp[j - volume] + weight) { // 第j个物品选择
                cnt += solutions[j - volume];
            }
            // 3、未放入i物品的最大值(X)==放入i物品的最大值(Y) => 即方案数 = X的方案数+Y的方案数
            solutions[j] = cnt % MOD;
            // 容量为j时能装入物品的最大价值
            dp[j] = maxv;
        }
    }
    int maxValue = -1;
    for (int j = 0; j <= v; j++) {
        maxValue = max(maxValue, dp[j]);
    }
    int sumOfSolutions = 0;
    for (int j = 0; j <= v; j++) {
        if (dp[j] == maxValue) {
            sumOfSolutions = (sumOfSolutions + solutions[j]) % MOD;
        }
    }
    std::cout << sumOfSolutions << endl;
    return 0;
}