01背包问题(动态规划)

2. 01背包问题

有 N 件物品和一个容量是V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

二维数组解法：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
constexpr int N = 1010;
int main() {
    int n = 0; // 物品个数
    int v = 0; // 背包容量
    // 输入物品个数和背包容量
    std::cin >> n >> v;
    vector<int> volume(N, 0); // 存储每件物品的体积
    vector<int> weight(N, 0); // 存储每件物品的价值
    // 输入每件物品的体积和价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        std::cin >> volume[i] >> weight[i];
    }
    vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(N, 0));
    // dp[i][j] 前i件物品放进当前背包容量为j的背包里装的物品最大总价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= v; j++) {
            // 第i件物品不选时
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 第i件物品选时(j >= volume时说明当前背包容量可以装的下第i件物品)
            if (j >= volume[i]) {
               dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - volume[i]] + weight[i]);
            }
        }
    }

    std::cout << dp[n][v] << endl;
    return 0;
}

一维数组解法：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
constexpr int N = 1010;
int main() {
    int n = 0; // 物品个数
    int v = 0; // 背包容量
    // 输入物品个数和背包容量
    std::cin >> n >> v;
    vector<int> volume(N, 0); // 存储每件物品的体积
    vector<int> weight(N, 0); // 存储每件物品的价值
    // 输入每件物品的体积和价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        std::cin >> volume[i] >> weight[i];
    }
    vector<int> dp(N, 0);
    // dp[i]当前背包容量为i的背包里装的物品的最大总价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = v; j >= volume[i]; j--) {
            // 第i件物品不选和选择取最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - volume[i]] + weight[i]);
        }
    }

    std::cout << dp[v] << endl;
    return 0;
}