点积

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点积在数学中，又称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。 [1] 

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=（a^T）*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

 

 

中文名

点积

外文名

dot product; scalar product

别    名

标量积、数量积、内积

运算类型

二元运算

点积的三个值

u、v、u,v夹角的余弦

点积的值

u,v的点积=|u||v|cos<u,v>

应用学科

线性代数

目录

1. 1 定义
2. ▪ 广义定义
3. ▪ 代数定义

1. ▪ 几何定义
2. ▪ 定义的等价性
3. 2 点积的值

1. 3 运算律
2. 4 应用

定义

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点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。 [1] 

广义定义

在一个向量空间V中，定义在

 上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

代数定义

设二维空间内有两个向量

 和

 ，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

更一般地，n维向量的内积定义如下： [1] 

几何定义

设二维空间内有两个向量

 和

 ，

 和

 表示向量a和b的大小，它们的夹角为

 ，则内积定义为以下实数：

该定义只对二维和三维空间有效。

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

定义的等价性

以三维空间为例子。

①几何定义推导代数定义

设

 ，

 ，根据向量坐标的意义可知

根据点乘的分配律得

又

，

所以

注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需借助向量关系，因此不属于循环推导。

点乘分配律的几何证明：

(a+b)·c=a·c+b·c

c=0时上式是成立的；

c≠0时，(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c

②代数定义推导几何定义

设

 ，

 ，它们的终点分别为

 和

 ，原点为O，

 夹角为

 。则

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距离公式对这个等式稍作处理，得

去括号、合并得

注意：余弦定理和距离公式亦无需向量知识。

点积的值

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u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

点积

两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。

向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

运算律

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交换律：

分配律：

结合律：

 ，其中m是实数。

应用

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平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明：

（1）勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|²+|CB|²=|AB|²。

∵AB = CB-CA

∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

∴ AB²=AC²+BC²

（2）菱形对角线相互垂直：菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。

设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα

又∵ cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

∴AC⊥BD

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

线性变换中点积的意义：

根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F（a·b）则可以构建一个基于a·b+c = 0 （c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

 

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