matlab中fft快速傅里叶变换
视频来源：https://www.bilibili.com/video/av51932171?t=628。
博文来源：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html?searchHighlight=fft&s_tid=doc_srchtitle
视频来源很好的解释了：
1 .傅里叶变换过程，经过傅里叶变化得到了，频率w，振幅a0，相位角φ；
2. 傅里叶变换 主要应用领域： 声音， 图像处理；
博文则很好的解释了：
1. 傅里叶变换在matlab软件中怎样应用
2.. 傅里叶变换的作用效果的展示，从时域到频域的变化，时域难以解决的问题到频域中却很清晰。
说明
示例
噪声信号
使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量。
指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒。
Fs = 1000; % Sampling frequency
T = 1/Fs; % Sampling period
L = 1500; % Length of signal
t = (0:L-1)*T; % Time vector
构造一个信号，其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 120 Hz 正弦量。
S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。
X = S + 2*randn(size(t));
在时域中绘制噪声信号。通过查看信号 X(t) 很难确定频率分量。
plot(1000*t(1:50),X(1:50))
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('t (milliseconds)')
ylabel('X(t)')
计算信号的傅里叶变换。
Y = fft(X);
计算双侧频谱 P2。然后基于 P2 和偶数信号长度 L 计算单侧频谱 P1。
P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:L/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
定义频域 f 并绘制单侧幅值频谱 P1。与预期相符，由于增加了噪声，幅值并不精确等于 0.7 和 1。一般情况下，较长的信号会产生更好的频率近似值。
f = Fs*(0:(L/2))/L;
plot(f,P1)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
现在，采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确幅值 0.7 和 1.0。
Y = fft(S);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
plot(f,P1)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
高斯脉冲
将高斯脉冲从时域转换为频域。
定义信号参数和高斯脉冲 X。
Fs = 100; % Sampling frequency
t = -0.5:1/Fs:0.5; % Time vector
L = length(t); % Signal length
X = 1/(4*sqrt(2*pi*0.01))*(exp(-t.^2/(2*0.01)));
在时域中绘制脉冲。
plot(t,X)
title('Gaussian Pulse in Time Domain')
xlabel('Time (t)')
ylabel('X(t)')
要使用 fft 将信号转换为频域，首先从原始信号长度确定是下一个 2 次幂的新输入长度。这将用尾随零填充信号 X 以改善 fft 的性能。
n = 2^nextpow2(L);
将高斯脉冲转换为频域。
Y = fft(X,n);
定义频域并绘制唯一频率。
f = Fs*(0:(n/2))/n;
P = abs(Y/n);
plot(f,P(1:n/2+1))
title('Gaussian Pulse in Frequency Domain')
xlabel('Frequency (f)')
ylabel('|P(f)|')
余弦波
比较时域和频域中的余弦波。
指定信号的参数，采样频率为 1kHz，信号持续时间为 1 秒。
Fs = 1000; % Sampling frequency
T = 1/Fs; % Sampling period
L = 1000; % Length of signal
t = (0:L-1)*T; % Time vector
创建一个矩阵，其中每一行代表一个频率经过缩放的余弦波。结果 X 为 3×1000 矩阵。第一行的波频为 50，第二行的波频为 150，第三行的波频为 300。
x1 = cos(2*pi*50*t); % First row wave
x2 = cos(2*pi*150*t); % Second row wave
x3 = cos(2*pi*300*t); % Third row wave
X = [x1; x2; x3];
在单个图窗中按顺序绘制 X 的每行的前 100 个项，并比较其频率。
for i = 1:3
subplot(3,1,i)
plot(t(1:100),X(i,1:100))
title(['Row ',num2str(i),' in the Time Domain'])
end
出于算法性能的考虑，fft 允许您用尾随零填充输入。在这种情况下，用零填充 X 的每一行，以使每行的长度为比当前长度大的下一个最小的 2 的次幂值。使用 nextpow2 函数定义新长度。
n = 2^nextpow2(L);
指定 dim 参数沿 X 的行（即对每个信号）使用 fft。
dim = 2;
计算信号的傅里叶变换。
Y = fft(X,n,dim);
计算每个信号的双侧频谱和单侧频谱。
P2 = abs(Y/L); P1 = P2(:,1:n/2+1); P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);
在频域内，为单个图窗中的每一行绘制单侧幅值频谱。
for i=1:3
subplot(3,1,i)
plot(0:(Fs/n):(Fs/2-Fs/n),P1(i,1:n/2))
title(['Row ',num2str(i),' in the Frequency Domain'])
end
输入参数
X - 输入数组 向量 | 矩阵 | 多维数组
输入数组，指定为向量、矩阵或多维数组。
如果 X 为 0×0 空矩阵，则 fft(X) 返回一个 0×0 空矩阵。
数据类型： double | single | int8 | int16 | int32 | uint8 | uint16 | uint32 | logical 复数支持： 是
n - 变换长度 [] （默认） | 非负整数标量
变换长度，指定为 [] 或非负整数标量。为变换长度指定正整数标量可以提高 fft 的性能。通常，长度指定为 2 的幂或可分解为小质数的乘积的值。如果 n 小于信号的长度，则 fft 忽略第 n 个条目之后的剩余信号值，并返回截断的结果。如果 n 为 0，则 fft 返回空矩阵。
示例： n = 2^nextpow2(size(X,1))
数据类型： double | single | int8 | int16 | int32 | uint8 | uint16 | uint32 | logical
dim - 沿其运算的维度 正整数标量
沿其运算的维度，指定为正整数标量。如果未指定值，则默认值是大小不等于 1 的第一个数组维度。
-
fft(X,[],1)沿X的各列进行运算，并返回每列的傅里叶变换。
-
fft(X,[],2)沿X的各行进行运算，并返回每行的傅里叶变换。
如果 dim 大于 ndims(X)，则 fft(X,[],dim) 返回 X。当指定 n 时，fft(X,n,dim) 将对 X 进行填充或截断，以使维度 dim 的长度为 n。
数据类型： double | single | int8 | int16 | int32 | uint8 | uint16 | uint32 | logical
输出参数
详细信息
提示
-
fft的执行时间取决于变换的长度。仅具有小质因数的变换长度的 fft 执行时间明显快于本身是质数或具有较大质因数的变换长度的 fft 执行时间。 -
对于大多数
n值，实数输入的 DFT 需要的计算时间大致是复数输入的 DFT 计算时间的一半。但是，当n有较大的质因数时，速度很少有差别或没有差别。 -
使用工具函数
fftw可能会提高fft的速度。此函数控制用于计算特殊大小和维度的 FFT 算法优化。
参考
[1] FFTW (http://www.fftw.org)
[2] Frigo, M., and S. G. Johnson. “FFTW: An Adaptive Software Architecture for the FFT.” Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Vol. 3, 1998, pp. 1381-1384.
扩展功能
在 R2006a 之前推出
