向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念
参考:
1. https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832
2. https://www.zhihu.com/question/21080171
点乘,也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。
叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。
向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;
向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。
点乘公式
对于向量a和向量b:
a和b的点积公式为:
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
推导过程如下,首先看一下向量组成:
定义向量:
向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交,相互垂直 a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间
叉乘公式
两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
其中:
叉乘几何意义
在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。 ———————————————— 版权声明:本文为CSDN博主「-牧野-」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。 原文链接:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832
补充两个向量的作用:
点乘,也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。
叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。