汉明码（Hamming）编码与纠错原理
一 汉明码的编解码说明
（一）编码
Hamming(12,8)
N=12,表示编码后的比特长度
K=8,待编码数据的比特长度
R=N-K=4,校验位的比特长度
D=3 汉明距离:相邻行之间不同比特数据的最小值
(D-1)/2=1 纠错能力
表格1：
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单位矩阵(I) 生成校验位的矩阵(P)
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标号 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
编号 x^7 x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x^1 1 c3 c2 c1 c0
7 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
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G是生成矩阵见表格1
A[7:0]
CODE=G x A
CODE[11]=A[7]
CODE[10]=A[6]
...
CODE[4]=A[0]
CODE[3]=A[7]^A[5]^A[3]^A[2] (^为异或)
CODE[2]=A[7]^A[6]^A[4]^A[2]^A[1]
CODE[1]=A[7]^A[6]^A[5]^A[3]^A[1]^A[0]
CODE[0]=A[6]^A[4]^A[3]^A[0]
（二）解码
1.求校验矩阵H
H = {P^T,I(N-K)} (^T表示转置; I(N-K)=I(4)表示4x4单位矩阵)
H为4x11矩阵
表2：
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11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
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p7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 P0 I3 I2 I1 I0
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3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
2 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
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2.求校正子S
S = H^T * U (U为待解码的数据)
S[3] = U[11]^U[9]^U[7]^U[6]^U[3]
S[2] = U[11]^U[10]^U[8]^U[6]^U[5]^U[2]
S[1] = U[11]^U[10]^U[9]^U[7]^U[5]^U[4]^U[1]
S[0] = U[10]^U[8]^U[7]^U[4]^U[0]
3.根据假设错误模式定位错误比特
通过错误模式推导校正子Si，i是index指的是错误模式的种类，因为我们汉明码解码数据有12bit，
所以错误模式有12种，还包括一种全部正确的模式。
Si = H^T * Ei
表3：
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Ei H^T Si 编号
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12'b0000_0000_0000 1110 0000
12'b0000_0000_0001 0111 0001 0
12'b0000_0000_0010 1010 0010 1
12'b0000_0000_0100 0101 0100 2
12'b0000_0000_1000 1011 1000 3
12'b0000_0001_0000 1100 0011 4
12'b0000_0010_0000 0110 0110 5
12'b0000_0100_0000 0011 1100 6
12'b0000_1000_0000 1000 1011 7
12'b0001_0000_0000 0100 0101 8
12'b0010_0000_0000 0010 1010 9
12'b0100_0000_0000 0001 0111 10
12'b1000_0000_0000 1110 11
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4.优化数据修正方法
C[11] = U[11]^(S[3]&S[2]&S[1]&(~S[0]))
C[10] = U[10]^(~S[3]&S[2]&S[1]&S[0])
C[9] = U[9]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))
C[8] = U[8]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])
C[7] = U[7]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])
C[6] = U[6]^(S[3]&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))
C[5] = U[5]^((~S[3])&S[2]&S[1]&(~S[0]))
C[4] = U[4]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&S[0])
C[3] = U[3]^(S[3]&(~S[2])&(~S[1])&(~S[0]))
C[2] = U[2]^((~S[3])&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))
C[1] = U[1]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))
C[0] = U[0]^((~S[3])&(~S[2])&(~S[1])&S[0])
例如：
待编码数据：8'b0011_0101
编码后数据：CODE[11:4] = 0011_0101
CODE[3:0] = 0000
CODE[11:0] = 12'b0011_0101_0000
经过信道，假设接收到的数据：
U[11:0] = 12'b0011_0101_0001
校正子：
S[3] = 0
S[2] = 0
S[1] = 0
S[0] = 1
S[3:0] = 4'b0001
根据表3，可知是在接收数据的最低位发生错误
