题解：P11701 [ROIR 2025] 平方差

题解：P11701 [ROIR 2025] 平方差

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赛时被创飞了，所以应当好好想一下这样的题该怎么做。

题目思路

朴素算法

按题意模拟即可。但是显然会炸。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll l,r,d,cnt=0;
int main(){
	cin>>d>>l>>r;
	for(int i=l;i<=sqrt(r);i++){
		for(int j=i;j<=sqrt(r);j++){
			if((j+i)*(j-i)==d) cnt++;
		}
	}	
	cout<<cnt;
	return 0;
}

时间复杂度 $O(n^{2})$。

优化

平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

由题可得 $x^2-y^2=d$ 可以变成 $(x-y)(x+y)=d$。
令 $a=x-y$，$b=x+y=\frac{d}{a}$，则一定满足 $a < b$ 且 $a \cdot b = d$。所以枚举 $a$ 即可。枚举范围 $\left[1,\sqrt{d}\right)$。
又可得 $x=\frac{a+b}{2}$，$y=\frac{b-a}{2}$，判断是否满足 $l \le y^2 < x^2 \le r$ 即可。
注意为了使 $x$ 和 $y$ 为整数，$a$ 和 $b$ 的奇偶性必须相同。
时间复杂度 $O(\sqrt{d})$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll d,l,r,cnt;
int main() {
    cin>>d>>l>>r;
    for (ll a=1;a<sqrt(d);a++) {
        if(d%a!=0) continue;
        ll b=d/a;
        if((a%2)!=(b%2)) continue;
        ll x=(a+b)/2;
        ll y=(b-a)/2;
        if(y*y>=l&&x*x<=r&&y*y<x*x) cnt++;
    }
    cout<<cnt;
    return 0;
}