八上一二章复习

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第一章 勾股定理

1.1 勾股定理

1.1.1 勾股定理的定义

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 $a$ , $b$ 和 $c$ 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^2+b^2=c^2$ 。

1.1.2 勾股定理的应用

• 怎样正确应用勾股定理?
  1.锁定直角三角形
  2.确定三角形中的直角
  3.确定三角形的直角边 , 斜边
  4.应用勾股定理求解 (直接求解/列方程求解)

勾股定理应用:

• 在直角三角形中已知两条边,求第三边长.
  1.已知两直角边,求斜边长.
  2.已知一条斜边和一条直角边,求另一条直角边的长.
  进而产生求三角形的周长和面积问题.
• 最短路径问题
  • 立体图形中的最短路径问题

  把立体图形转化为平面图形,构造直角三角形,用勾股定理求解即可

  • 平面图形中的最短路径问题

  同理,构造直角三角形,用勾股定理求解即可

1.2 勾股逆定理

1.2.1 勾股定理的正确应用

如果三角形的三边长满足 $a^2+b^2=c^2$ (其中 $a,b$ 为较短边) 那么这个三角形是直角三角形.

怎样正确应用勾股逆定理包括以下步骤:

• 确定较两条短边和一条最长边.
• 计算另两边的平方和和最长边的平方
• 比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等。‌
• 判断是不是直角三角形

勾股逆定理应用:

• 判定直角三角形
• 判定三角形角度

此外, 勾股逆定理还可以扩展到锐角和钝角三角形. 如当 $a^2+b^2>c^2$ 时, 三角形为钝角三角形 ;当 $a^2+b^2<c^2$ 时, 三角形为锐角三角形.

第二章 实数

2.1 无理数

• 无理数的定义:
  无理数定义为无限不循环小数，‌不能写作两整数之比。‌
• 无理数的常见三种形式 :
  1.开方开不尽的数，例如 $\sqrt{2} ,\sqrt{3}$ 等.
  2.含 $\pi$ 的数或式子.
  3.无限不循环小数.

2.2 算术平方根

• 算术平方根的定义:
  一般地，如果一个正数 $x$ 的平方等于 $a$ ，即 $x^2=a$ ，那么这个正数 $x$ 就叫做 $a$ 的算术平方根，记作 $\sqrt a$ ，读作 “根号 $a$ ” . 特别地，我们规定 : $0$ 的算术平方根是 $0$ ，即 $\sqrt 0=0$ .
• 算术平方根的性质:
  1.一个正数的算术平方根是一个正数.
  2.一个负数没有算术平方根.
  3. $0$ 的算术平方根是 $0$ .

2.2 算术平方根的双重非负性

$\sqrt{a}$ 性质:
$a \geq 0$ , $\sqrt{a} \geq 0$ .

两个关于算术平方根公式 :
$\sqrt{a^2}=\lvert a \lvert$ ;
$(\sqrt{a^2})^2=a$ .

2.3 平方根

• 平方根的定义:
  一般地，如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$ ，即 $x²=a$ ，那么这个数 $x$ 就叫做 $a$ 的平方根 , 写作 $x=\pm \sqrt {a}$ .
• 平方根的性质 :
  1.一个非负数有两个平方根 , 他们互为相反数 .
  2.一个负数没有平方根 .
  3. $0$ 的平方根是 $0$ .

2.4 立方根

• 立方根的定义:
  一般地 ，如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$ ，即 $x³=a$ ， 那么这个数 $x$ 就叫做 $a$ 的立方根 . 写作 $x=\sqrt[3]{a}$ .

• 立方根的性质:
  1.一个正数的立方根是一个正数.
  2.一个负数的立方根是一个负数.
  3. $0$ 的立方根是 $0$ .

• 由此可得出结论 :

  $\sqrt[3]{a^3}=a$ , $(\sqrt[3]{a})^3=a$ .

• 另外根据性质也可得:

  $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$ .

  即被开方数互为相反数 , 则他们的立方根也互为相反数 .

2.5 实数

• 实数的定义:
  有理数和无理数统称为实数.

• 实数的分类:

  • 按定义分类:

  

  • 按性质分类:
    

实数与数轴上的点一 一对应.

• 利用勾股定理寻找找无理数方法:

• 比较两个实数的大小方法:

  有直接比较法 , 作差法 , 平方法 , 倒数法等 .

2.6 二次根式

2.6.1 二次根式

• 二次根式的判断 :

  1.形如 $\sqrt a$ 的式子.
  2.被开方数为非负数, 这也是使其有意义的条件 .

  同时满足这两点的 , 称之为二次根式 .

• 二次根式的性质

  即为两个公式:

  1. $\sqrt {ab}=\sqrt a \cdot \sqrt b \ (a \geq 0,b \geq 0)$ ;
  2. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b} \ (a \geq 0,b \geq 0)$ .

  分母有理化 : $\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1 \times \sqrt 2 }{{\sqrt 2}^2}=\frac{\sqrt 2}{2}$ .

2.6.2 最简二次根式

• 最简二次根式的定义

  一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式 .

• 因此, 化简二次根式的最后结果应有如下条件:
  1.被开方数中不含分母;
  2.被开方数中不含能开出方的因数和因式 ;
  3.分母中不含二次根式 .