0_1 Package

0-1背包问题

0-1背包问题：

问题：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。

求解：将那些物品装入背包使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

提示：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

 

算法基本思想：

利用动态规划思想：

子问题：f[i][v] 表示前i件物品恰巧放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

状态转移方程：f[i][v] = max {f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。

 

解释状态转移方程：

将前i件物品放入容量为v的背包中这个子问题，

如果只考虑第i件物品放或者不放，那么就可以转化为只涉及前i-1件物品的问题。

① 如果不放第一件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入容器为v的背包中”。

② 如果放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入剩下的容量v-c[i]的背包中”——此时获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

f[i][v]的值就是 ①  ②中最大的那个值。