Binary_Indexed_Tree (BIT)

树状数组

树状数组：

是一种设计新颖的数组结构，它能够高效地获取数组中连续n个数的和。

线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描。

概括说：

树状数组通常用于解决以下问题：

数组{a}中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续几个数的和？

 

一般讲到树状数组都会少不了下面这个图：

 

下面来解析该图，找出其中的规律：

据图可知：

c1 = a1

c2 = a2

c3 = a3

c4 = a1 + a2 + a3 + a4

c5 = a5

c6 = a5 + a6

c7 = a7

c8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

c9 = a9

 

分析上面的几组式子可知：

当i为奇数时

　　ci = ai

当i为偶数时

　　就要看i的因子中最多有2的多少次幂。

For Example：

6的因子中有2的一次幂，等于2。所以 c6 = a5 + a6 （由6向前数两个数的和）。

4的因子中油2的二次幂，等于4。所以 c4 = a1 + a2 + a3 + a4 （由4向前数四个数字的和）。

 

一、有公式 cn = a (n - a^k +1) + ......+ an （其中k为n的二进制表示中从右往左数的0的个数）。

　 那么如何求 a^k 呢？

　 求法如下：

 

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

    lowbit () 的返回值就是 2^k 次方的值。

　 求出来 2^k 之后，数组 c 的值也就都出来。

　 接下来我们要求数组中所有元素的和。

二、求数组的和的算法如下：

　 ① 令sum = 0，转向第②步；

　 ② 接下来判断，如果 n > 0 的话，就令sum = sum + cn 转向第③步，否则的话，终止算法，返回sum的值；

　 ③ n = n - lowbit(n) （将n的二进制表示的最后一个0删掉），返回第二步。

 

int sum(int n)
{
    int sum = 0;
    while (n > 0)
    {
        sum+=c[n];
        n = n - lowbit(n);
    }
    return sum;       
}

三、当数组中的元素有变更时，树状数组就发挥它的优势了，（修改为给某个节点 i 加上 x）算法如下：

　 ① 当 i < n 时，执行下一步；否则的话，算法结束；

　 ② ci = ci + x, i = i + lowbit (i) （在 i 的二进制表示的最后加0）；返回第 ① 步。

void change(int i, int x)
{
    while(i <= n)
    {
        c[i] = c[i] + x;
        i = i + lowbit(i);
    }
}