快速排序的期望复杂度O(nlogn)证明。
快速排序的最优时间复杂度是 \(O(nlogn)\)，最差时间复杂度是 \(O(n^2)\)，期望时间复杂度是 \(O(nlogn)\)。
这里我们证明一下快排的期望时间复杂度。
设 \(T(n)\) 为对长度为 \(n\) 的序列进行快速排序所需要的期望时间。我们有：
$$T(0) = 0$$
以及： $$T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$
我们可以通过放缩来获得对 \(T(n)\) 上界的一个估计。
\[T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))
\]
\[= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))
\]
\[= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(i) + T(n - i - 1)) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))
\]
因为 \(T(n) >= n\) , 所以对于 \(\frac{n}{2} <= i <= j\)，我们显然有：
\[T(i) + T(n - i) <= T(j) + T(n - j)
\]
所以：
\[T(n) <= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(n - 1) + T(0))
\]
\[<= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1)
\]
