HDU-4512 吉哥系列故事——完美队形I 最长公共上升子序列
题意：给定一个序列，求出这个序列中最长的一个对称的序列，并且该序列对称之中还要保持左边递增右边递减。
解法：将原串进行翻转，然后求一个最长公共上升子序列，注意边界：从原串的第i位开始匹配，那么翻转过来的串就不能够匹配到[1,i-1]这个区间去，否则非法的这一段匹配结果将会是左降右增。
代码入下：
#include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int N; int a[205]; int f[205][205]; int dp[205]; /* 定义状态f[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度 由于有了上升的限制，因此少不了考虑前一状态的最后一个值，这也是一个限制值，通过 开设一个包含有特定位截止的状态就有利于保存下这一值 */ void solve() { int Max = -1, len; /* 二维空间写法 memset(f, 0, sizeof (f)); for (int i = 1; i <= N; ++i) { len = 0; for(int j = N; j >= i; --j) { if (a[i] == a[j]) { f[i][j] = len + 1; if (j > i) { Max = max(Max, f[i][j] * 2); } else { Max = max(Max, f[i][j] * 2 - 1); } } else { f[i][j] = f[i-1][j]; if (a[i] > a[j]) { // len维护好a[i]当前能够达到的已有的长度的最大值 len = max(len, f[i-1][j]); } } } }*/ // 一维空间写法 memset(dp, 0, sizeof (dp)); for (int i = 1; i <= N; ++i) { len = 0; for (int j = N; j >= i; --j) { if (a[i] == a[j]) { dp[j] = len + 1; if (j > i) { Max = max(Max, dp[j] * 2); } else { Max = max(Max, dp[j] * 2 - 1); } } else { if (a[i] > a[j]) { len = max(len, dp[j]); } } } } printf("%d\n", Max); } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d", &N); for (int i = 1; i <= N; ++i) { scanf("%d", a + i); } solve(); } return 0; }
附：最长公共上升子序列算法
最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法
预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。
问题：字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。
首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么？定义状态。
1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。
为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。
我们来考察一下这个这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？
首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。
那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i）
于是我们得出了状态转移方程：
a[i]!=b[j]: F[i][j]=F[i-1][j]
a[i]==b[j]: F[i][j]=max(F[i-1][k])+1 1<=k<=j-1&&b[j]>b[k]
不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。
但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。
如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。
最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。
参考代码：
#include<cstdio> #include<cstring> int f[1005][1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max; int main() { scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n1,&n2); for(i=1;i<=n1;i++) scanf("%d",&a[i]); for(i=1;i<=n2;i++) scanf("%d",&b[i]); memset(f,0,sizeof(f)); for(i=1;i<=n1;i++) { max=0; for(j=1;j<=n2;j++) { f[i][j]=f[i-1][j]; if (a[i]>b[j]&&max<f[i-1][j]) max=f[i-1][j]; if (a[i]==b[j]) f[i][j]=max+1; } } max=0; for(i=1;i<=n2;i++) if (max<f[n1][i]) max=f[n1][i]; printf("%d\n",max); } }
其实还有一个很风骚的一维的算法。在此基础上压掉了一维空间（时间还是平方）。i循环到x的时候，F[i]表示原来F[x][j]。之所以可以这样，是因为如果a[i]!=b[j]，因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变，F[x]不用改变，沿用过去的就好了，和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。而a[i]==b[j]的时候，就改变F[x]的值好了。具体结合代码理解。
参考代码：
#include<cstdio> #include<cstring> int f[1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max; int main() { scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n1,&n2); for(i=1;i<=n1;i++) scanf("%d",&a[i]); for(i=1;i<=n2;i++) scanf("%d",&b[i]); memset(f,0,sizeof(f)); for(i=1;i<=n1;i++) { max=0; for(j=1;j<=n2;j++) { if (a[i]>b[j]&&max<f[j]) max=f[j]; if (a[i]==b[j]) f[j]=max+1; } } max=0; for(i=1;i<=n2;i++) if (max<f[i]) max=f[i]; printf("%d\n",max); } }
最长公共上升子序列（LCIS）的平方算法@我们都爱刘汝佳
2011-2-18
