POJ-1430 Binary Stirling Numbers 组合数学

这题是定义如下的一个数：

S(0, 0) = 1; S(n, 0) = 0 for n > 0;S(0, m) = 0 for m > 0;

S(n, m) = m S(n - 1, m) + S(n - 1, m - 1), for n, m > 0.

也就是题中所说的把一个含有n个元素的集合分成m份，共有多少种分法。

现在题目就是要求S(n, m)的奇偶性。

如果m是一个偶数的话，那么我们可以推出 S(n, m) Ξ S(n-1, m-1) (mod 2)，如果m是一个奇数的话，我们推出S(n, m) Ξ (S(n-1, m) + S(n-1, m-1)) (mod 2)。后面看到某一大牛所说的利用画图来推导这个表达式，整了一下，S(n, m)这个状态可由左边的S(n-1, m) 以及 斜下方的 S(n-2, m-2)得到。最后得到结果是c( n-m, n-m+(m-1)/2 ).

最后只要确定一个组合数是否为奇数即可，c(A, B) = B! / (A! * (B-A)!) 我们通过提取上下阶乘的2的个数即可，因为这个式子一定能够约分成整数，那么只要2这个因子没有就一定是一个奇数了。

代码如下：

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

int s[1002][1002];

void pre()
{
    s[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i <= 50; ++i) { 
        for (int j = 0; j <= 50; ++j) {
            if (!i && !j) continue;
            else if (!i || !j) s[i][j] = 0; 
            else s[i][j] = j * s[i-1][j] + s[i-1][j-1];
        }
    }    
    for (int i = 0; i <= 10; ++i) {
        for (int j = 0; j <= 10; ++j) { 
            printf("s[%d][%d]= %d\n", i, j, s[i][j]); 
        }
        puts("");
    }
    
    
    
}

int main()
{
//    pre();
    int T, n, m, t1, t2;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        t1 = t2 = 0;
        scanf("%d %d", &n, &m);
        if (m == 0 && n) {
            puts("0");
            continue;    
        }
        n -= m;
        m = n + (m-1)/2; // n此处就是n-m了
        int A = n, B = m, C = (B-A);
        while (B) {
            t1 += B/2;
            B /= 2;
        }
        while (A) {
            t2 += A/2;
            A /= 2;    
        }
        while (C) {
            t2 += C/2;
            C /= 2;    
        }
        if (t1 == t2) {
            puts("1");    
        }
        else {
            puts("0");
        }
    }
    return 0;
}