HDU-2502 月之数 组合数
月之数
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Problem Description
当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。
Input
给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。
Output
对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。
Sample Input
3
1
2
3
Sample Output
1
3
8
该题题义简单，是求一个二进制数的区间内，1的个数，不知到有木有更好的办法，写这道题时想到的就是一个组合问题。
比如要求一个4二进制数的月之数是多少，由于第一位必须为1，所以有多少个3位的二进制数，就有多少个高位1，后面的就是从N-1个里面选一个，两个...... 这样的组合数，在具体计算过程中还要考虑奇偶性。
代码如下：
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 using namespace std;
5
6 long long mix( long long n, long long m )
7 {
8 long long res = 1;
9 for( long long i = 0; i < m; ++i )
10 { // 一直用这个学来的方法来防止溢出
11 res *= ( n - i );
12 res /= ( i + 1 );
13 }
14 return res;
15 }
16
17 int main()
18 {
19 int T;
20 scanf( "%d", &T );
21 while( T-- )
22 {
23 long long N, ans = 1;
24 scanf( "%I64d", &N );
25 for( long long i = 1; i <= N - 1; ++i )
26 {
27 ans <<= 1;
28 }
29 if( ! ( N & 1 ) )
30 {
31 int lim = N / 2 - 1;
32 for( long long i = 1; i <= lim; ++i )
33 {
34 ans += ( N - 1 ) * mix( N - 1, i );
35 }
36 ans += ( N - 1 );
37 }
38 else
39 {
40 int lim = ( N - 1 ) / 2;
41 for( long long i = 1; i < lim; ++i )
42 {
43 ans += ( N - 1 ) * mix( N - 1, i );
44 }
45 ans += ( N - 1 ) / 2 * mix( N - 1, ( N - 1 ) / 2 );
46 ans += ( N - 1 );
47 }
48 printf( "%I64d\n", ans );
49 }
50 return 0;
51 }
突然想到用移位判定奇偶来统计1的个数，现在就去试试看。
上面的这种方法也能过，代码量下来了，但是速度慢了 78MS， 前面的是0MS。代码如下：
1 #include <cstring>
2 #include <cstdlib>
3 #include <cstdio>
4 using namespace std;
5
6 int main()
7 {
8 int T;
9 scanf( "%d", &T );
10 while( T-- )
11 {
12 int N, beg = 1, end = 1, ans = 0;
13 scanf( "%d", &N );
14 for( int i = 1; i < N; ++i )
15 beg <<= 1, end <<= 1;
16 end <<= 1, end -= 1;
17 for( int i = beg; i <= end; ++i )
18 {
19 int t = i;
20 while( t > 0 )
21 {
22 if( t & 1 )
23 ++ans;
24 t >>= 1;
25 }
26 }
27 printf( "%d\n", ans );
28 }
29 return 0;
30 }
还有一种递推解法，个人觉得很好很强大。 代码如下：
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 using namespace std;
5
6 int ans[22], base = 1;
7
8 int main()
9 {
10 ans[1] = 1;
11 for( int i = 2; i <= 20; ++i )
12 {
13 ans[i] = 2 * ans[i-1] + base;
14 base <<= 1;
15 }
16 int T;
17 scanf( "%d", &T );
18 while( T-- )
19 {
20 int N;
21 scanf( "%d", &N );
22 printf( "%d\n", ans[N] );
23 }
24 return 0;
25 }
