2025.3.26西安集训数学做题记录

简单的数论题

简简单单推式子，容易得到：

\[ans=\sum_{d=1}^n\sum_{t=1}^{\lfloor{n\over d}\rfloor}\mu(t)\sum_{i=1}^{\lfloor{n\over td}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor{m\over td}\rfloor}\varphi(it)\varphi(jt) \]

考虑根号平衡，枚举 \(T=td\)，对 \(T\) 分治。为方便求解，设 \(s(n,k)=\sum\limits_{i=1}^n\varphi(ik)\)，有：

\[ans=\sum_{T=1}^n\sum_{k|T}\mu(k)s(\lfloor{n\over td}\rfloor,k)s(\lfloor{m\over td}\rfloor,k) \]

考虑进一步处理后面的和式，我们可以用 \(O(n\log n)\) 的时间暴力计算，于是就对小于根号的预处理，大于根号的直接暴力做即可。

小 A 与两位神仙

辛苦想了好一阵结果只是原根的基本东西。

你考虑将 x 和 y 写成 \(g^X\) 和 \(g^Y\) 的形式，于是就有 \(aX\equiv Y\pmod{\varphi(m)}\)，这就是一个判断不定方程是否有解的问题。再结合阶的性质：\(\delta_p(g^x)={\delta_p(g)\over\gcd(\delta_p(g),x)}\) 可以得到方程有解条件为：\(\delta_p(x)|\delta_p(y)\)。

最大团

简单推式子，考虑染色与构图无关，于是直接乘法原理。然后发现最后的式子比较像古代猪文于是扩欧一下类比 exlucas 处理即可。