luogu-P3343题解

合集 - 洛谷题解(3)

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简要题意

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，边的边权是 $[0,1]$ 之间均匀分布的随机实数，且相互独立。求最小生成树的最大边权的期望值。

思路

首先有一个比较神秘的跟概率有关的东西，虽然题面中已经给出提示，但这里还是进行简单说明：

引理：将长度为 $n$ 的区间随机划成 $m$ 段，每段长度期望是 $\frac{n}{m}$。

笔者询问 deepseek，deepseek 给出了三种证明方法，在此仅给出笔者知道的一种。

我们设第 $i$ 段长度为 $L_i$，就有：$n=\sum _{i=1}^m{L}_i$。

根据期望的线性性和对称性我们可以得到：$n=E(\sum _{i=1}^m{L}_i)=\sum _{i=1}^{m}E(L_i)$ 和 $L_1=L_2=\cdots =L_m$。

所以 $E(L_i)=\frac{n}{m}$。

所以第 $k$ 大的边贡献就是 $\frac{k}{m+1}$。我们首先能够有一个 naive 的想法，枚举每个边的大小关系，然后暴力跑 kruskal。这个想法可以启发我们去思考如何统计所有第 $k$ 大的边的贡献。

首先看每种情况做贡献的概率，确定了选择哪些边要选和哪个边做贡献后就好做了，有 $P=\frac{(k-1)!(m-k)!}{m!}$。因为期望等于总方案数除以概率，所以现在我们只需要去找方案数，这个就 dp 去求。

因为恰好选第 $k$ 大的边使图连通不好描述，所以容斥，变成选第 $k$ 大的边前图不连通的方案数减去选第 $k$ 大的边后图不连通的方案数。于是就有一个 dp，设 $f_{S,i}$ 表示 $S$ 构成的点集中选 $i$ 条边图不连通的方案，现在考虑枚举子集进行转移。转移就从若干已经连通的子图中选出剩下的一些边，但是不能使整个图连通，所以从严格意义上说是枚举真子集。所以引入 $g_{S,i}$ 表示 $S$ 构成的点集中选 $i$ 条边图连通的方案，就有下面两个转移式：

$$g_{S,i}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_S}{i})-f_{S,i}$$

$$f_{S,i}=\sum _{T⊊S}\sum _{j\le d_T}{g}_{T,j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_{S/T}}{i-j})$$

其中 $d_S$ 为 $S$ 的导出子图。

最后的答案就是：

$$\frac{1}{m+1}\sum _{i\le m}i(\frac{f_{U,i-1}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_U}{i-1})}-\frac{f_{U,i}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_U}{i})})$$

化简得：

$$\frac{1}{m+1}\sum _{i\le m}\frac{f_{U,i}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_U}{i})}$$

代码

signed main(){
    n = rd(), m = rd();
    for(int i = 1, u, v; i <= m; ++i)u = rd(), v = rd(), ++mp[(1 << u - 1) | (1 << v - 1)];
    for(int S = 1; S < (1 << n); ++S)for(int T = S; T; T = T - 1 & S)d[S] += mp[T];
    c[0][0] = c[1][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; c[++i][0] = 1)for(int j = 1; j <= i; ++j)c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
    for(int S = 1; S < (1 << n); ++S)for(int i = 0; i <= d[S]; ++i){
        for(int T = S & S - 1; T; T = T - 1 & S)if(T & (S & - S))
            for(int j = 0; j <= min(i, d[T]); ++j)f[S][i] += g[T][j] * c[d[S ^ T]][i - j];
        g[S][i] = 1.0 * c[d[S]][i] - f[S][i];
    }
    for(int i = 0; i <= m; ++i)ans += f[(1 << n) - 1][i] / c[m][i];
    ans /= 1.0 + m;
    printf("%.6f", ans);
    return 0;
}