20250207数论课堂笔记

合集 - 数学(9)

1.组合数学2024-07-052.组合数学（容斥与反演）2024-10-153.组合数学（特殊数）01-23

4.20250207数论课堂笔记02-07

5.20250206线性代数课堂笔记02-066.ARC132E题解2024-12-147.ABC245Ex题解2024-11-228.luogu-P10596题解2024-09-199.AGC015D题解2024-09-18

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欧几里得算法

$f,g,h$ 函数。

解法：先取模，然后写成合式拆。

具体一点是把 $n$ 替换成 $km+r(r<k)$ 的形式，然后整块的部分和散块的分开做，这就有些类似递归。

对于每一个小部分，我们想通过转换合式的方法化简式子，于是把一个数 $n$ 拆成 $\sum _{i=1}^{n}1$ 的形式。后面就转换成更小的数然后化简。

欧拉定理

exgcd。

扩欧。

筛

莫反相关

一些常见积性函数以及一点点卷积。

一点简单题。

杜教筛

构造 $g$，将其与 $f$ 卷积。需满足 $f\ast g$ 是一个能够快速求解的东西且 $g$ 也能快速求解。然后把含 $\sum$ 式子拆开移项化简。

复杂度：

$$\begin{array}{rl}T(n)& =T_0(m)+\sum _{k>m}T(k)\\ & =T_0(m)+\sum _{k=1}^{n/m}O(\sqrt{\frac{n}{k}})\\ & =O(T_0(m)+{\int }_0^{n/m}\sqrt{\frac{n}{x}}dx)\\ & =O(m+\frac{n}{\sqrt{m}})\end{array}$$

均值不等式得：$m=n^{2/3}$ 时，$T(n)=O(n^{2/3})$。

因为有 $\mu \ast 1=ϵ$，还有 $\phi \ast 1=id$。

例子：P3768

$f=\phi \times i{d}^2$，构造 $g=i{d}^2$，可得 $h=f\ast g=n^2\sum _{d|n}\phi (d)=n^3$。

考虑点乘有类似分配律的性质，于是就可以考虑以下两类和组：

• $\mu \times i{d}^k$
• $\phi \times i{d}^k$

它们同时卷上 $i{d}^k$ 后可以先把 $i{d}^k$ 写成 $i{d}^k\times 1$ 然后提出公因式。

PN 筛

pn 性质：

1. pn 可以写成 $a^2{b}^3$ 的形式。
2. $n$ 以内的 pn 个数为 $O(\sqrt{n})$ 个。

证明：通过枚举 $a$ 来确定 $b$ 的个数，有：

$${\int }_1^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}dx=O(\sqrt{n})$$

球 pn 的方法：先筛出 $\sqrt{n}$ 内的质数然后 dfs。

找一个 $g$ 满足：

• $g$ 是积性函数。
• $g$ 易求前缀和。
• 对于质数 $p$ 有 $g(p)=f(p)$。

我们考虑去构造 $h=f/g$，此处 $/$ 指的是狄利克雷卷积的除法，所以 $h$ 也是积性函数。

因此有 $h(1)=1$，并且对 $p\in prime$ 有 $f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)=h(p)+g(p)$，所以 $h(p)=0$，进而得出对于非 pn 数的所有 $n$ 有 $h(n)=0$。

然后开始推式子：

$$\begin{array}{rl}F(n)=\sum _i^{n}f(i)& =\sum _i^n\sum _{d|i}h(d)g(\frac{i}{d})\\ & =\sum _{d=1}^{n}h(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }g(i)\\ & =\sum _{d\in PN\vee d\le n}h(d)G(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\end{array}$$

其中 $G$ 可以快速地算，我们需要求解 $h(p^c)$。

有两种可选择方案：

1. 用仅与 $p,c$ 有关的式子得出。
2. 用 $f,g$ 推出。

对于第二种，将 $p^c$ 代入得到：$h(p^c)=f(p^c)-\sum _{i=1}^{c}g(p^i)h(p^{c-i})$。

然后暴力求解就行，时间复杂度 $O(\sqrt{n}\log n)$。

$\text{Stern-Brocot}$ 树

就是一直迭代，对于每次迭代，对于任意相邻项 $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$，在中间插入 $\frac{a+c}{b+d}$。

有两个重要性质：

• 最简性：就是最简分数。
• 完全性：能够搜出所有最简分数。

证明最简性：

将树上每个点看成矩阵，对于 $\frac{a+c}{b+d}$，我们可以看做：

$$S=\left(\begin{array}{cc}b& d\\ a& c\end{array}\right)$$

考虑归纳证明。若 $\frac{a}{b}$ 已经得到证明是最简分数，有 $a\perp b$，现在尝试证明 $c\perp d$。

我们尝试把每次迭代的操作写成两种矩阵：

$$L=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

因为 $S$ 由若干 $L,R$ 组成，所以 $det(S)=det(L)=det(R)=1$，进而有：$bc-ad=1$，于是得到 $c\perp d$。

备注

1. 下来重推一下“循环之美”。

2. 复习 pn 筛。