20250206线性代数课堂笔记

合集 - 数学(9)

1.组合数学2024-07-052.组合数学（容斥与反演）2024-10-153.组合数学（特殊数）01-234.20250207数论课堂笔记02-07

5.20250206线性代数课堂笔记02-06

6.ARC132E题解2024-12-147.ABC245Ex题解2024-11-228.luogu-P10596题解2024-09-199.AGC015D题解2024-09-18

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矩阵

数域：做基本运算是封闭形式

卡常技巧：先做完再取模。

有结合律、分配律。

有单位矩阵 $I$。

$M_n(F)$ 对于矩阵的加法和乘法形成一个环。

$\mathrm{不}\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{律}、\mathrm{消}\mathrm{去}\mathrm{律}$。

满足消去律当且仅当矩阵可逆。

什么是消去律：

$$AB=AC,B=C$$

矩阵快速幂。

邻接矩阵乘法意义：$A^k$ 表示走 $k$ 步。

bitset 优化。

矩阵优化 dp

有点不好想。

DDP

用 $(min/max,+)$ 矩阵代替 $(+,\times )$ 矩阵。

完了感觉简单 dp 都不会了，只会后面套路地去转化为矩阵。

高消

三种线性变换 -> 初等变换。

向量。

线性相关性

线性组合、线性表示概念。

线性相关：可以用其他表示；反之，若都不能被表示，则为线性无关。

极大无关组：

1. 互相线性无关；
2. 每个向量都可用其表示。

一组向量中必有极大无关组

稚：极大无关组所含向量个数。

注意：可能有多个极大无关组，但是可以证明这些不同的极大无关组中向量数相同。

向量空间

子空间，张成子空间。

子空间等价当且仅当两者所得向量均相同。

若 ${\alpha }_1,\dots {\alpha }_s$ 与 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_t$ 是等价且线性无关的向量组，则 $s=t$

设有一子空间 $W$，若存在无关的向量组，使 $W$ 中每个向量都能被表示，则称其为 $W$ 的一个基，基中向量个数是维数。

线性方程组与矩阵关系

方程组转矩阵，增广矩阵。

行空间、列空间、行稚、列稚。

矩阵初等行、列变换不改变矩阵行列稚

由此得：

$r_r(A)=r_c(A)$

所以定义矩阵的稚 $r(A)$。

$r(AB)\le min(r(A),r(B))$

证明考虑数形结合，也可以直接写开。

$\text{Kronecker-Catelli}$ 定理：

方程组有解充要条件是：$r(A)=r(\tilde{A})$

$r<n$ 则有无数解

$r=n$ 则有唯一解

考虑方程右边全部为零，那么对所有向量做线性组合方程右边依旧为零。由定义可得这些东西形成子空间 $W$。

当右边不为零，就构造一个为零的然后就可以在原向量上进行组合。

线性基

可以把线性基插入过程理解成高消。回忆就是消去最高位，抵消的时候直接整体异或。

基本操作、求交求并。

带删

离线：加一维时间，有点贪心地去做。

在线：记录基中元素必须去表示的元素集合，删除后直接从集合中拿一个数填，此时不需要保证最高位递减的性质。

行列式

只有方阵才能定义为行列式。

表示方法：$|A|,deta$。

余子式：划去一行一列。$M_{ij}$ 称为 $a_{ij}$ 的余子式，$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 是代数余子式。

进而定义 $|A|=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}{M}_{i1}$。

由定义可得连乘的元素不在同一行或一列。

$|A|=\sum _{p\in {\mathfrak{S}}_n}(-1{)}^{\tau (p)}\prod _{i=1}^n{a}_{i{p}_i}$。

上三角矩阵行列式是对角线之积。

初等变换对行列式影响

• 取反
• 数乘
• 不变

注意：$\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{两}\mathrm{行}\mathrm{乘}$ -1！！！。

记录一个大学有用的式子（范德蒙德行列式）：

$$V_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ a_1& a_2& \dots & a_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \dots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{i<j}(a_j-a_i)$$

可逆矩阵，即 $AB=1$。易证。

性质：

1. $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$
2. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
3. $A$ 可逆当且仅当 $|A|\ne 0\iff r(A)=n$

$$\sum _{i=1}^n{a}_{is}{A}_{it}=[s=t]|A|=\sum _{i=1}^n{a}_{si}{A}_{ti}$$

伴随矩阵 $A^{\ast }$：先求代数余子式再转置。

$A^{\ast }A=|A|I_n$

推论：$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$。

三个初等矩阵。

$\text{Cramer}$ 法则。

特征值与特征向量

$$\begin{array}{r}A\xi =\lambda \xi \\ (A-\lambda )\xi =0\end{array}$$

得到充要条件：$det(A-\lambda )=0$。

特征多项式 $c_A(x)=det(x{I}_n-A)$。

求值：

先求 $n+1$ 个点值，行列式 $O(n^3)$，然后拉插，总共 $O(n^4)$。

相似变换

前提：方阵。

$B=P^{-1}AP$，则 $A$、$B$ 相似，$A\to P^{-1}AP$ 为相似变换。

相似变换前后行列式和特征多项式不变

证明：

$$\begin{array}{rl}det(x{I}_n-P^{-1}AP)& =det(P^{-1}x{I}_{n}P-P^{-1}AP)\\ & =det(P^{-1})\times det(P)\times det(x{I}_n-A)\\ & =det(x{I}_n-A)\end{array}$$

实质：

把 $P$ 写成初等矩阵之积，$P=\prod _i{T}_i$，于是就有：

$$P^{-1}AP=T_n^{-1}{T}_{n-1}^{-1}\dots T_1^{-1}A{T}_1{T}_2\dots T_n$$

相当于每次做初等行变换再做初等列变换。

$\text{Schur's Lemma}$ 引理

如果 $c_A(x)=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)\dots (x-{\lambda }_n)$，则有：

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \dots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

高消不能用初等变换得到上三角矩阵。

上海森堡矩阵：比上三角矩阵多了一条次对角线。

从最后一行展开行列式进行递归，时间复杂度 $O(n^3)$。

极小多项式

关于某矩阵的零化多项式：$f(A)=0$ 且 系数不全为零。

极小多项式：次数最小的零化多项式。

设 $f(x)$ 为 $A$ 的任一零化多项式，则有：$m_A(x)|f(x)$。

$\text{Cayley-Hamilton}$ 定理

$A$ 的特征多项式是 $A$ 的零化多项式。

应用：对高次多项式取模。