20250206线性代数课堂笔记

矩阵

数域：做基本运算是封闭形式

卡常技巧：先做完再取模。

有结合律、分配律。

有单位矩阵 \(I\)。

\(M_n(F)\) 对于矩阵的加法和乘法形成一个环。

\(\color{red} 不满足交换律、消去律\)。

满足消去律当且仅当矩阵可逆。

什么是消去律：

\[AB=AC,B=C \]

矩阵快速幂。

邻接矩阵乘法意义：\(A^k\) 表示走 \(k\) 步。

bitset 优化。

矩阵优化 dp

有点不好想。

DDP

用 \((\min/\max,+)\) 矩阵代替 \((+,\times)\) 矩阵。

完了感觉简单 dp 都不会了，只会后面套路地去转化为矩阵。

高消

三种线性变换 -> 初等变换。

向量。

线性相关性

线性组合、线性表示概念。

线性相关：可以用其他表示；反之，若都不能被表示，则为线性无关。

极大无关组：

1. 互相线性无关；
2. 每个向量都可用其表示。

一组向量中必有极大无关组

稚：极大无关组所含向量个数。

注意：可能有多个极大无关组，但是可以证明这些不同的极大无关组中向量数相同。

向量空间

子空间，张成子空间。

子空间等价当且仅当两者所得向量均相同。

若 \(\alpha_1,\dots\alpha_s\) 与 \(\beta_1,\dots,\beta_t\) 是等价且线性无关的向量组，则 \(s=t\)

设有一子空间 \(W\)，若存在无关的向量组，使 \(W\) 中每个向量都能被表示，则称其为 \(W\) 的一个基，基中向量个数是维数。

线性方程组与矩阵关系

方程组转矩阵，增广矩阵。

行空间、列空间、行稚、列稚。

矩阵初等行、列变换不改变矩阵行列稚

由此得：

\(r_r(A)=r_c(A)\)

所以定义矩阵的稚 \(r(A)\)。

\(r(AB)\le\min(r(A),r(B))\)

证明考虑数形结合，也可以直接写开。

\(\text{Kronecker-Catelli}\) 定理：

方程组有解充要条件是：\(r(A)=r(\tilde A)\)

\(r<n\) 则有无数解

\(r=n\) 则有唯一解

考虑方程右边全部为零，那么对所有向量做线性组合方程右边依旧为零。由定义可得这些东西形成子空间 \(W\)。

当右边不为零，就构造一个为零的然后就可以在原向量上进行组合。

线性基

可以把线性基插入过程理解成高消。回忆就是消去最高位，抵消的时候直接整体异或。

基本操作、求交求并。

带删

离线：加一维时间，有点贪心地去做。

在线：记录基中元素必须去表示的元素集合，删除后直接从集合中拿一个数填，此时不需要保证最高位递减的性质。

行列式

只有方阵才能定义为行列式。

表示方法：\(|A|,\det a\)。

余子式：划去一行一列。\(M_{ij}\) 称为 \(a_{ij}\) 的余子式，\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\) 是代数余子式。

进而定义 \(|A|=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}M_{i1}\)。

由定义可得连乘的元素不在同一行或一列。

\(|A|=\sum\limits_{p\in\mathfrak S_n}(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^na_{ip_i}\)。

上三角矩阵行列式是对角线之积。

初等变换对行列式影响

• 取反
• 数乘
• 不变

注意：\(\color{red}{交换两行乘}\) -1！！！。

记录一个大学有用的式子（范德蒙德行列式）：

\[V_n= \begin{vmatrix} 1&1&\dots&1\\ a_1&a_2&\dots&a_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\dots&a_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{i<j}(a_j-a_i) \]

可逆矩阵，即 \(AB=1\)。易证。

性质：

1. \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
2. \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
3. \(A\) 可逆当且仅当 \(|A|\ne0\Leftrightarrow r(A)=n\)

\[\sum_{i=1}^na_{is}A_{it}=[s=t]|A|=\sum_{i=1}^na_{si}A_{ti} \]

伴随矩阵 \(A^*\)：先求代数余子式再转置。

\(A^*A=|A|I_n\)

推论：\(A^{-1}={A^*\over|A|}\)。

三个初等矩阵。

\(\text{Cramer}\) 法则。

特征值与特征向量

\[\begin{aligned} A\xi=\lambda\xi\\ (A-\lambda)\xi=0\\ \end{aligned} \]

得到充要条件：\(\det(A-\lambda)=0\)。

特征多项式 \(c_A(x)=\det(xI_n-A)\)。

求值：

先求 \(n+1\) 个点值，行列式 \(O(n^3)\)，然后拉插，总共 \(O(n^4)\)。

相似变换

前提：方阵。

\(B=P^{-1}AP\)，则 \(A\)、\(B\) 相似，\(A\rightarrow P^{-1}AP\) 为相似变换。

相似变换前后行列式和特征多项式不变

证明：

\[\begin{aligned} \det(xI_n-P^{-1}AP)&=\det(P^{-1}xI_nP-P^{-1}AP)\\ &=\det(P^{-1})\times\det(P)\times\det(xI_n-A)\\ &=\det(xI_n-A) \end{aligned} \]

实质：

把 \(P\) 写成初等矩阵之积，\(P=\prod\limits_i T_i\)，于是就有：

\[P^{-1}AP=T_n^{-1}T_{n-1}^{-1}\dots T_1^{-1}AT_1T_2\dots T_n \]

相当于每次做初等行变换再做初等列变换。

\(\text{Schur's Lemma}\) 引理

如果 \(c_A(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots(x-\lambda_n)\)，则有：

\[P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1&*&\dots&*\\ 0&\lambda_2&\dots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_n \end{pmatrix} \]

高消不能用初等变换得到上三角矩阵。

上海森堡矩阵：比上三角矩阵多了一条次对角线。

从最后一行展开行列式进行递归，时间复杂度 \(O(n^3)\)。

极小多项式

关于某矩阵的零化多项式：\(f(A)=0\) 且 系数不全为零。

极小多项式：次数最小的零化多项式。

设 \(f(x)\) 为 \(A\) 的任一零化多项式，则有：\(m_A(x)|f(x)\)。

\(\text{Cayley-Hamilton}\) 定理

\(A\) 的特征多项式是 \(A\) 的零化多项式。

应用：对高次多项式取模。