ARC101E题解

合集 - AT题解(6)

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6.ARC101E题解2024-12-25

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前言

此片题解大致按照笔者做题思路进行讲解。

简要题意

有一棵树，树上有偶数个节点。你需要给这些点两两配对，一组已经配对的点会将两点之间的树边进行一次覆盖。一组合法方案需要满足树上所有边都被覆盖至少一次，求合法方案数。

数据范围：$n\le 5000$。

思路

首先我们去观察题目性质，发现没有什么特殊的地方。我最开始只想到一个非常暴力的 $dp$，设 $f_{u,i}$ 表示以 $u$ 为根的子树内有 $i$ 个点已经匹配好的方案数。但是当我去考虑转移时，我发现他有很多种情况：

1. $u$ 一个儿子的子树内互相匹配，但是需要有一个点与外面的点匹配（不然这个子树与 $u$ 之间的边就无法被覆盖）；
2. 一个子树内的点向 $u$ 的其他子树匹配；
3. 一个子树的点向 $u$ 子树以外的点匹配。

或许还有一些没有罗列出来，但反正就是不可做。于是我们正难则反，考虑先求出不合法的情况，然后容斥做。

题解

如何求不合法的情况呢？我们可以通过钦定一些边不覆盖来容斥。比如当我计算到以 $u$ 为根的子树时，我就去枚举 $u$ 所在的连通块的大小，对于一个 $u$ 的儿子 $v$，分讨一下连通块是否包括 $v$。

具体的，我们设 $f_{u,i}$ 表示以 $u$ 为根的子树，$u$ 所在连通块大小为 $i$ 的方案数。对于 $v$ 在连通块的时候，有转移：

$$f_{u,i-j}\times f_{v,j}\to f_{u,i},v\in {\mathrm{son}}_u,j<i$$

若 $v$ 与 $u$ 之间的边不覆盖，则有：

$$f_{u,i}\times f_{v,j}\to f_{u,i+j}$$

你乍一看这不就是树上背包吗？时间复杂度 $O(n^2)$，可以通过此题！

现在我们已经基本找出状态转移的方程，但现在我们还需要思考一个问题：

一个点数为 $k$ 的连通块，将里面的点不重不漏两两匹配的方案数

首先对于 $k$ 为奇数的时候是无贡献的；所以只用考虑 $k$ 为偶数的情况。考虑递推求解答案，设 $s_k$ 表示点数为 $k$ 的贡献。对于一个点，我有 $k-1$ 种选择方案，而剩下的 $k-2$ 个点的方案是 $s_{k-2}$，固可得递推式：$s_k=(k-1)\times s_{k-2}$。

但考虑到我们只是没有考虑这些方案中会有的不合法情况，所以需要稍微容斥一下，在转移的时候还需要给一个 $(-1{)}^k$。

然后看到之前的 $dp$，我们发现对于第一种情况合并两个连通块似乎不好计算方案，于是我们改写状态，设 $f_{u,i}$ 表示以 $u$ 为根的子树，$u$ 所在连通块大小为 $i$ 时不考虑 $u$ 所在连通块中匹配情况的方案数，这样在合并两个连通块时我们就直接把系数乘上就行，所以最后第一种情况的转移式为：

$$f_{u,i}\leftarrow f_{u,i-j}\times f_{v,j}\times (-s_i)$$

最后答案就是 $\sum _i{f}_{1,i}\times s_i$。

代码

void dfs(int u, int fa){
    sz[u] = f[u][1] = 1;
    for(int i = hd[u]; i; i = e[i].nxt){
        int v = e[i].to; if(v == fa)continue;
        dfs(v, u); copy(f[u], f[u] + 1 + sz[u], g);
        fill(f[u], f[u] + 1 + sz[u], 0);
        for(int j = 1; j <= sz[u]; ++j)for(int k = 1; k <= sz[v]; ++k)
            f[u][j] = del(f[u][j], mul(mul(f[v][k], s[k]), g[j])),
            f[u][j + k] = add(f[u][j + k], mul(g[j], f[v][k]));
        sz[u] += sz[v];
    }
}