AGC002E题解

合集 - AT题解(6)

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简要题意

桌上有 $n$ 堆糖果，第 $i$ 堆糖果有 $a_i$ 个糖。两人在玩游戏，轮流进行，每次进行下列两个操作中的一个:

1. 将当前最大的那堆糖果全部吃完；

2. 将每堆糖果吃掉一个；

吃完的人输，假设两人足够聪明，问谁有必胜策略？

数据范围：$1\le n\le {10}^5,1\le a_i\le {10}^9$ 。

思路

首先对于最大的一堆糖，如果两个人不去操作它那么他就会一直是最大的，而如果有人选择干掉它，那么剩下的最大值会顶替它。所以我们首先可以将 $a_i$ 从大到小排序。但是对于第二种操作每次我们都要将全局减一不方便，但是每个数的相对大小不变，所以我们可以看成有一条线去截一些数，每次向上挪动。同样的，对于第一种操作我们也可以用相同的方法表示。所以我们可以将数列下标与数值看成一个有序二元组，由它们组成边界，把题目转化成在平面直角坐标系中有一个在 $(1,1)$ 的石子，现在两个人轮流移动，不能移动者获胜。于是就可以递推出每个格子的情况，但是数据范围不允许我们算出全部格子，所以需要稍微找一下规律。我们发现对角线上的格子的情况是一样的，所以可以暴力找到最远的对角线上的点，然后看它的上面与右边的获胜情况推出它自己是否获胜。

代码

bool cmp(int a, int b){return a > b;}

signed main(){
    n = rd();
    for(int i = 1; i <= n; ++i)a[i] = rd();
    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp); int pos;
    for(pos = 1; pos <= n and a[pos] >= pos; ++pos); --pos;
    bool o = (a[pos] - pos) & 1;
    if(! o){
        int i; for(i = pos + 1; a[i] == pos; ++i); --i;
        o = (i - pos) & 1;
    }
    puts(o ? "First" : "Second");
    return 0;
}