luogu-P10596题解

合集 - 数学(9)

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简要题意

一个有 $N$ 个元素的集合有 $2N$ 个不同子集（包含空集），现在要在这 $2N$ 个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为 $K$，求取法的方案数，答案模 ${10}^9+7$。

数据范围：$1\le K\le N\le {10}^6$。

题解

我们设 $f(i)$ 表示选出子集大小恰好为 $i$ 的方案数，然而我们发现这个东西不好转移。但是，如果我们先求出一个限制条件少一点但是比较好求的东西 $g(i)$ 再去求 $f(i)$ 就会简单许多（也许。

于是就有 $g(i)$ 表示钦定 $i$ 个元素在交集中（其他元素不考虑），这样 $g(i)$ 就比较好求了，我们可以把 $g(i)$ 的式子写出来：$g(i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(2^{2^{n-i}}-1)$。为什么呢？首先我们需要从 $n$ 个元素中选择 $i$ 个元素，所以有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$，然后对于剩下 $n-i$ 个元素，我们可以列举出可能存在的集合的可能，也就是 $2^{n-i}$ 种可能，对于这些集合我们可以选可以不选，但是题目要求至少选一个，所以就是一个 $2^{n-i}$ 元集去掉空集，然后选的元素与不选的元素之间互有影响所以是乘法原理。

然后就是去找 $f$ 与 $g$ 的关系了。其实对于 $g$，我们还有另一种求法：$g(i)=\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f(j)$。其实就是对于选出子集大小恰为 $j$ 的方案中再去选出 $i$ 个，与第一种方法等价。

然后看到后面这坨直接二项式反演就可以得到：

$$f(i)=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(2^{2^{n-j}}-1)$$

然后直接算就行。

代码

signed main(){
    n = rd(), k = rd();
    fac[0] = bs[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)fac[i] = fac[i - 1] * i % mod, bs[i] = bs[i - 1] * 2 % (mod - 1);
    inv[n] = qmi(fac[n], mod - 2);
    for(int i = n - 1; i; --i)inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    for(int i = k; i <= n; ++i){
        ll op = qmi(- 1, i - k);
        ll t1 = C(i, k), t2 = C(n, i);
        ll tt = (qmi(2, bs[n - i]) - 1 + mod) % mod;
        (ans += op * t1 % mod * t2 % mod * tt % mod + mod) %= mod;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}