AGC015D题解

合集 - 数学(9)

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简要题意

给定一个区间 $[l,r]$，从中选出若干整数按位或，求可能出现的数的方案数。

数据范围：$1\le l\le r\le 2^{60}$。

思路

首先对于 $[l,r]$ 里的数全都满足条件，然后因为是按位或，所以 $l,r$ 二进制下的一段前缀就与答案无关可以先去掉。

现在我们只需要考虑比 $r$ 还要大的数。去掉一段前缀后 $r$ 二进制的最高位一定是 $1$，设 $x=highbit(r)$，我们可以根据 $x$ 将这个区间划分成两部分 $[l,x)$ 和 $[x,r]$。对于第一个区间里，任何数按位或答案都在第一个区间内，所以不用考虑，我们只用考虑只在第二个区间选数或者两个区间都选数。你会发现在第一个区间选多少数都可以等价为选一个数，所以其实只用考虑选两个数的情况。

1. 如果只在第二个区间选数，我们可以不看最高位的一，因为他是公共部分。假设剩下的部分为 $y$，那么在第二个区间选数就等价于在 $[0,y]$ 内选数，设 $z=highbit(y)$，实际上选出来的就是 $[x,x+2z)$ 的所有数，去掉小于等于 $r$ 的答案区间就为 $(r,x+2z)$；
2. 如果在两个区间中各选一个数，我们可以发现对于第一个区间我们可以选 $[l,x)$，当第二个区间选 $x$ 的时候就可以凑出 $[x+l,2x)$ 中的所有数，答案区间就为 $[max(x+l,r+1),2x)$。

最后只需要判断一下后两种情况是否有交集，如果有交集那么最后答案就直接为 $[l,2x)$，否则就把答案区间累加即可。时间复杂度只有 $O(\log r)$，非常优秀！

代码

signed main(){
    // fileio(fil);
    l = rd(), r = rd();
    if(l == r)return puts("1"), 0;
    for(int i = 60; ~ i; --i){
        x |= r >> i << i;
        if((l >> i) ^ (r >> i))break;
    }
    y = x & - x; r += y - x;
    l += y - x; ans = r - l + 1;
    for(x = 1; x + y <= r; x <<= 1); x += y - 1;
    if((y | l) <= x)return printf("%lld", (y << 1) - l), 0;
    ans += (y << 1) - (y | l) + x - r;
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}