AVL树 算法思想与代码实现
AVL树是高度平衡的二叉搜索树,按照二叉搜索树(Binary Search Tree)的性质,AVL首先要满足:
若它的左子树不为空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不为空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。
AVL树的性质:
- 左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1
- 树中的每个左子树和右子树都是AVL树
- 每个节点都有一个平衡因子(balance factor--bf),任一节点的平衡因子是-1,0,1之一
(每个节点的平衡因子bf 等于右子树的高度减去左子树的高度 )
构建AVL树节点
//// AVL树的节点类 template<class K,class V> class AVLTreeNode { K _key; V _value; int _bf;//平衡因子 -1,0,1(每个节点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度) AVLTreeNode<K, V>* _parent; //指向父节点的指针 AVLTreeNode<K, V>* _left; //指向左孩子的指针 AVLTreeNode<K, V>* _right; //指向右孩子的指针 AVLTreeNode(const K& key = K(), const V& value = V()) :_key(key) , _value(value) , _bf(0) , _parent(NULL) , _left(NULL) , _right(NULL) {} };
插入数据:
插入数据以后,父节点的平衡因子必然会被改变!
首先判断父节点的平衡因子是否满足性质1(-1<= parent->_bf <=1),如果满足,则要回溯向上检查插入该节点是否影响了其它节点的平衡因子值!
- 当父节点的平衡因子等于0时,父节点所在的子树已经平衡,不会影响其他节点的平衡因子了。
- 当父节点的平衡因子等于1或者-1时,需要继续向上回溯一层,检验祖父节点的平衡因子是否满足条件(把父节点给当前节点)。
- 当父节点的平衡因子等于2或者-2时,不满足性质1,这时需要进行旋转 来降低高度 :
旋转的目的是为了降低高度
旋转的一般形态:
旋转至少涉及三层节点,所以至少要向上回溯一层 ,才会发现非法的平衡因子并进行旋转
向上回溯校验时,需要进行旋转的几种情况:
1. 当前节点的父节点的平衡因子等于2时,说明父节点的右树比左树高:
- 这时如果当前节点的平衡因子等于1,那么当前节点的右树比左树高,形如“ \ ”,需要进行左旋;
- 如果当前节点的平衡因子等于-1,那么当前节点的右树比左树低,形如“ > ”,需要进行右左双旋!
2. 当前节点的父节点的平衡因子等于-2时,说明父节点的右树比左树低:
- 这时如果当前节点的平衡因子等于-1,那么当前节点的右树比左树低,形如“ / ”,需要进行右旋;
- 如果当前节点的平衡因子等于1,那么当前节点的右树比左树高,形如“ < ”,需要进行左右双旋!
// AVLTree插入算法 template<class K, class V> bool AVLTree<K,V>::Insert(const K& key, const V& value) { //1.空树 if (_root == NULL) { _root = new AVLTreeNode<K, V>(key, value); return true; } //2.AVL树不为NULL AVLTreeNode<K, V>* parent = NULL; AVLTreeNode<K, V>* cur = _root; //找到数据插入位置 while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //插入数据 cur = new AVLTreeNode<K, V>(key, value); cur->_parent = parent; if (parent->_key > key) parent->_left = cur; else parent->_right = cur; while (parent) { //更新平衡因子 if (cur == parent->_left) parent->_bf--; else if (cur == parent->_right) parent->_bf++; //检验平衡因子是否合法 if (parent->_bf == 0) break; else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { // 回溯上升 更新祖父节点的平衡因子并检验合法性 cur = parent; parent = cur->_parent; } else // 2 -2 平衡因子不合法 需要进行旋转 降低高度 { if (parent->_bf == 2) { if (cur->_bf == 1) _RotateL(parent); else _RotateRL(parent); } else if (parent->_bf == -2) { if (cur->_bf == -1) _RotateR(parent); else _RotateLR(parent); } break; } } }
左旋的两种情况:
1.parent有两个孩子:没有插入节点c之前处于平衡状态,插入c之后,平衡被破坏,向上回溯检验祖父节点的平衡因子,当其bf=2 时,以此节点为轴进行左旋
2.parent有一个孩子:没有插入节点a之前处于平衡状态,插入节点a之后,parent节点的平衡因子bf=2不满足AVL树的性质,要以parent为轴进行左旋
//左旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateL(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* subR = parent->_right; AVLTreeNode<K, V>* subRL = subR->_left; AVLTreeNode<K, V>* ppNode = parent->_parent; //标记祖先节点 //1.构建parent子树 链接parent和subRL parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; //2.构建subR子树 链接parent和subR subR->_left = parent; parent->_parent = subR; //3.链接祖先节点和subR节点 subR->_parent = ppNode; if (ppNode== NULL) {//如果祖先节点为NULL,说明目前的根节点为subR _root = subR; } else { //将祖先节点和subR节点链接起来 if (parent == ppNode->_left) ppNode->_left = subR; else ppNode->_right = subR; } //4.重置平衡因子 parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; //5.更新subR为当前父节点 parent = subR; }
右旋的两种情况:
1. parent既有左孩子又有右孩子:插入c之前处于平衡态,插入c之后parent的平衡因子变为-2,这时要以parent为轴进行旋转
2. parent只有一个孩子:插入a之前处于平衡状态,插入之后subL与parent的平衡因子被改变,需要以parent为轴进行旋转
///右旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateR(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* subL = parent->_left; AVLTreeNode<K, V>* subLR = subL->_right; AVLTreeNode<K, V>* ppNode = parent->_parent; //标记祖先节点 //1.构建parent子树 将parent和subLR链接起来 parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; //2.构建subL子树 将subL与parent链接起来 subL->_right = parent; parent->_parent = subL; //3.将祖先节点与sunL链接起来 if (ppNode == NULL) { //如果祖先为NULL,说明当前subL节点为根节点 subL->_parent = NULL; _root = subL; } else { subL->_parent = ppNode; if (ppNode->_left == parent) ppNode->_left = subL; else if (ppNode->_right == parent) ppNode->_right = subL; } //4.重置平衡因子 parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; //5.更新subL为当前父节点 parent = subL; }
左右双旋:
1. parent只有一个孩子:在插入节点sunLR之前,AVL树处于平衡状态,左右子树高度差的绝对值不超过1。
由于插入了节点subLR导致grandfather的平衡因子变为-2,平衡树失衡,所以需要利用旋转来降低高度!
- 首先以subL为轴,将subLR向上提(左旋),将grandfather、parent和subL旋转至一条直线上;
- 再以parent为轴将之前的subLR向上提(右旋),左树的高度降1,grandfather的平衡因子加1后变为-1,恢复平衡状态。
- 双旋完成后将parent、subL的平衡因子置为0即可,左右双旋也就完成啦!
2. parent有两个孩子:没有插入subRL或subRR之前的AVL树一定是处于平衡状态的,并且满足AVL树的性质。
正是由于插入了节点subRL或者subRR,导致其祖先节点的平衡因子被改变,grandfather的平衡因子变为-2,平衡态比打破,需要进行旋转来降低高度!
- 首先parent为轴将subR节点往上提至原parent的位置(左旋),将grandfather、parent 和 subR旋至一条直线上;
- 再以grandfather为轴将subR往上提至grandfather的位置(右旋),此时以subR为根的左右子树的高度相同,恢复了平衡态!
parent有两个孩子时,要看插入的节点是subR的右孩子还是左孩子,双旋后对平衡因子的修改分两种情况:
- subR的平衡因子为1,即subR有右孩子无左孩子(有subRR但无subRL),双旋之后将grandfather的平衡因子置为0,将parent的平衡因子置为-1;
- subR的平衡因子为-1,即subR有左孩子无右孩子(有subRL但无subRR),双旋之后将grandfather的平衡因子置为1,将parent的平衡因子置为0;
//左右双旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateLR(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* pNode = parent; AVLTreeNode<K, V>* subL = parent->_left; AVLTreeNode<K, V>* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; _RotateL(parent->_left); _RotateR(parent); if (bf == 1) { pNode->_bf = 0; subL->_bf = -1; } else if (bf == -1) { pNode->_bf = 1; subL->_bf = 0; } else { pNode->_bf = 0; subL->_bf = 0; } }
右左双旋:
1. parent只有一个孩子:由于节点subRL的插入破坏了AVL树的平衡,parent的平衡因子变为2,需要利用旋转来降低高度!
- 首先,以subR为轴,将subRL提上去(右旋),保证parent、subR 和 subRL在一条直线上;
- 以parent为轴,将上一步标记为subRL的节点向上升(左旋),这样达到了降低高度的目的;
- 双旋之后,parent和subR的平衡因子都要置为0
2.parent有两个孩子:没有插入subLL或者subLR之前的AVL树一定是处于平衡状态的,并且满足AVL树的性质。
正是由于插入了节点subLL或者subLR,导致其祖先节点的平衡因子被改变,grandfather的平衡因子变为2,平衡态比打破,需要进行旋转来降低高度!
- 首先parent为轴将subL节点往上提至原parent的位置(右旋),将grandfather、parent 和 subL旋至一条直线上;
- 再以grandfather为轴将subL往上提至grandfather的位置(左旋),此时以subL为根的左右子树的高度相同,恢复了平衡态!
parent有两个孩子时,要看插入的节点是subL的右孩子还是左孩子,双旋后对平衡因子的修改分两种情况:
- subL的平衡因子为1,即subL有右孩子无左孩子(有subLR但无subLL),双旋之后将grandfather的平衡因子置为-1,将parent的平衡因子置为0;
- subL的平衡因子为-1,即subL有左孩子无右孩子(有subLL但无subLR),双旋之后将grandfather的平衡因子置为0,将parent的平衡因子置为1;
//右左双旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateRL(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* pNode = parent; AVLTreeNode<K, V>* subR= parent->_right; AVLTreeNode<K, V>* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; _RotateR(parent->_right); _RotateL(parent); if (bf == 1) { pNode->_bf = 0; subR->_bf = -1; } else if (bf == -1) { pNode->_bf = 1; subR->_bf = 0; } else { pNode->_bf = 0; subR->_bf = 0; } }