Kruskal算法（转）

对于一个给定的连通的无向图 G = (V, E)，希望找到一个无回路的子集 T，T 是 E 的子集，它连接了所有的顶点，且其权值之和为最小。

因为 T 无回路且连接所有的顶点，所以它必然是一棵树，称为生成树（Spanning Tree），因为它生成了图 G。显然，由于树 T 连接了所有的顶点，所以树 T 有 V – 1 条边。一张图 G 可以有很多棵生成树，而把确定权值最小的树 T 的问题称为最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）。术语 “最小生成树” 实际上是 “最小权值生成树” 的缩写。

Kruskal 算法提供一种在 O(ElogV) 运行时间确定最小生成树的方案。Kruskal 算法基于贪心算法（Greedy Algorithm）的思想进行设计，其选择的贪心策略就是，每次都选择权重最小的但未形成环路的边加入到生成树中。其算法结构如下：

1. 将所有的边按照权重非递减排序；
2. 选择最小权重的边，判断是否其在当前的生成树中形成了一个环路。如果环路没有形成，则将该边加入树中，否则放弃。
3. 重复步骤 2，直到有 V – 1 条边在生成树中。

上述步骤 2 中使用了 Union-Find 算法来判断是否存在环路。

例如，下面是一个无向连通图 G。

图 G 中包含 9 个顶点和 14 条边，所以期待的最小生成树应包含 (9 – 1) = 8 条边。

首先对所有的边按照权重的非递减顺序排序：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Weight Src Dest 1 7 6 2 8 2 2 6 5 4 0 1 4 2 5 6 8 6 7 2 3 7 7 8 8 0 7 8 1 2 9 3 4 10 5 4 11 1 7 14 3 5

然后从排序后的列表中选择权重最小的边。

1. 选择边 {7, 6}，无环路形成，包含在生成树中。

2. 选择边 {8, 2}，无环路形成，包含在生成树中。

3. 选择边 {6, 5}，无环路形成，包含在生成树中。

4. 选择边 {0, 1}，无环路形成，包含在生成树中。

5. 选择边 {2, 5}，无环路形成，包含在生成树中。

6. 选择边 {8, 6}，有环路形成，放弃。

7. 选择边 {2, 3}，无环路形成，包含在生成树中。

8. 选择边 {7, 8}，有环路形成，放弃。

9. 选择边 {0, 7}，无环路形成，包含在生成树中。

10. 选择边 {1, 2}，有环路形成，放弃。

11. 选择边 {3, 4}，无环路形成，包含在生成树中。

12. 由于当前生成树中已经包含 V – 1 条边，算法结束。

 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAX 1000
using namespace std;

int father[MAX];
int son[MAX];
int v, l;
//瀛樺偍杈逛俊鎭
struct Edge {
    int begin;
    int end;
    int weight;
};

bool cmp(const Edge &a, const Edge &b) {
    return a.weight < b.weight;
}
int unionsearch(int x) {
    return x == father[x] ? x : unionsearch(father[x]);
}
bool join(int x, int y) {
    int root1, root2;
    root1 = unionsearch(x);
    root2 = unionsearch(y);
    if(root1 == root2) {
        return false;
    } else if(son[root1] >= son[root2]) {
        father[root2] = root1;
        son[root1] += son[root2]; 
    } else {
        father[root1] = root2;
        son[root2] += son[root1];
    }

    return true;

}
int main()
{
    int ncase = 0, ltotal = 0, sum = 0, flag = 0;

    Edge edge[MAX];
    scanf("%d", &ncase);
    while(ncase--) {
        scanf("%d%d", &v, &l);
        ltotal = 0; sum = 0; flag = 0;
        for(int i = 0; i < v; i++) {
            father[i] = i;
            son[i] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < l; i++) {
            scanf("%d%d%d", &edge[i].begin, &edge[i].end, &edge[i].weight);
        }
        //鏉冨€肩敱灏忓埌澶ф帓鍒
        sort(edge, edge + l, cmp);
        for(int i = 0; i < l; i++) {
            if(join(edge[i].begin, edge[i].end)) {
                ltotal++;
                sum += edge[i].weight;
                cout << edge[i].begin << "->" << edge[i].end <<endl;
            }
            if(ltotal == v - 1) {
                flag = 1;
                break;
            } 
        }
        if(flag) {
            printf("%d\n", sum);
        } else {
            printf("data error\n");
        }
    }

    return 0;
}