[2024.11.20]NOIP 模拟赛

鲜花：今年又在 luogu 被卡7级线了。

赛时

T1 看见区间操作还以为是贪心+数据结构，然后再看两眼发现这原来是个伪装的多测。

对于每一个元素 $m$，相当于要构造一组 $xA+yB=m$ 的 $(x,y)$ 解，这是扩欧。

单纯是不行的，题目上要使得 $(|x|+|y|{)}_{min}$。

但是我忘记了扩欧的通解公式了，所以以下内容是我赛时的手推过程：（肯定不是最简的，只是赛时乱推的）

求出来扩欧的 $(x,y)$ 并判断无解后，先令

$$X^{\prime }=\frac{xm}{gcd(A,B)},Y^{\prime }=\frac{ym}{gcd(A,B)}$$

然后设置两个偏系数 $a,b$ 使得

$$(X^{\prime }+a)A+(Y^{\prime }-b)B=m$$

拆项得

$$(X^{\prime }A+Y^{\prime }B)+aA-bB=m$$

移项得 $aA=bB$。

因为有两个变量，不好处理，所以要把它们用同一个变量表示出来。

把原式变成

$$a\frac{A}{gcd(A,B)}gcd(A,B)=b\frac{B}{gcd(A,B)}gcd(A,B)$$

然后同时乘 $gcd(A,B)$ 得

$$aAgcd(A,B)=bBgcd(A,B)$$

从而有

$$\frac{agcd(A,B)}{B}=\frac{bgcd(A,B)}{A}$$

于是令 $\frac{agcd(A,B)}{B}=\frac{bgcd(A,B)}{A}=k$，得

$$a=\frac{Bk}{gcd(A,B)},b=\frac{Ak}{gcd(A,B)}$$

推出来这个以后，就可以得到 $k=x$ 与 $(|x|+|y|)=y$ 的函数关系式为

$$y=|X^{\prime }+\frac{B}{gcd(A,B)}x|+|Y^{\prime }-\frac{A}{gcd(A,B)}x|$$

感性看一眼发现这玩意下凸，所以可以用三分求解（虽然能求零点，但我忘了这个的正确性了，保险起见用了三分）

写了一遍就过了。

T2 先把 $n=1,2$ 的写了，剩下的拼了个暴搜。

T3 看到没有基于 $C$ 的部分分，就也跳了。

T4 看上去很有思路，胡了一个 $\mathcal{O}(n\sqrt{n}\log n)$ 的01Trie+莫队做法，此时 11:00。

开始写，11:30 写完，开始调。

因为不是大考，所以不想写暴力了。

12:00 没调完，所以交了一发搞一搞。

发现没过样例的代码搞到了 9pts。

总结

T3 其实有些部分分只要推一些很简单的式子就行了，这说明看到一道暴搜写不了的题目时应该想想特殊性质。

T4 正解是莫二离，发现好像就我一个人没调出来我这种做法，这说明我的代码能力太差了。

T2 可以用 bitset 搞到 60pts，但是赛时没想到。

感觉还是书上知识记得不牢的原因，导致 T1 写完的时间有点晚了。