[2024.11.20]NOIP 模拟赛

鲜花：今年又在 luogu 被卡7级线了。

赛时

T1 看见区间操作还以为是贪心+数据结构，然后再看两眼发现这原来是个伪装的多测。

对于每一个元素 \(m\)，相当于要构造一组 \(xA+yB=m\) 的 \((x,y)\) 解，这是扩欧。

单纯是不行的，题目上要使得 \((|x|+|y|)_{min}\)。

但是我忘记了扩欧的通解公式了，所以以下内容是我赛时的手推过程：（肯定不是最简的，只是赛时乱推的）

求出来扩欧的 \((x,y)\) 并判断无解后，先令

\[X'=\frac{xm}{\gcd(A,B)},Y'=\frac{ym}{\gcd(A,B)} \]

然后设置两个偏系数 \(a,b\) 使得

\[(X'+a)A+(Y'-b)B=m \]

拆项得

\[(X'A+Y'B)+aA-bB=m \]

移项得 \(aA=bB\)。

因为有两个变量，不好处理，所以要把它们用同一个变量表示出来。

把原式变成

\[a\frac{A}{\gcd(A,B)}\gcd(A,B)=b\frac{B}{\gcd(A,B)}\gcd(A,B) \]

然后同时乘 \(\gcd(A,B)\) 得

\[aA\gcd(A,B)=bB\gcd(A,B) \]

从而有

\[\frac{a\gcd(A,B)}{B}=\frac{b\gcd(A,B)}{A} \]

于是令 \(\frac{a\gcd(A,B)}{B}=\frac{b\gcd(A,B)}{A}=k\)，得

\[a=\frac{Bk}{\gcd(A,B)},b=\frac{Ak}{\gcd(A,B)} \]

推出来这个以后，就可以得到 \(k=x\) 与 \((|x|+|y|)=y\) 的函数关系式为

\[y=|X'+\frac{B}{\gcd(A,B)}x|+|Y'-\frac{A}{\gcd(A,B)}x| \]

感性看一眼发现这玩意下凸，所以可以用三分求解（虽然能求零点，但我忘了这个的正确性了，保险起见用了三分）

写了一遍就过了。

T2 先把 \(n=1,2\) 的写了，剩下的拼了个暴搜。

T3 看到没有基于 \(C\) 的部分分，就也跳了。

T4 看上去很有思路，胡了一个 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n}\log n)\) 的01Trie+莫队做法，此时 11:00。

开始写，11:30 写完，开始调。

因为不是大考，所以不想写暴力了。

12:00 没调完，所以交了一发搞一搞。

发现没过样例的代码搞到了 9pts。

总结

T3 其实有些部分分只要推一些很简单的式子就行了，这说明看到一道暴搜写不了的题目时应该想想特殊性质。

T4 正解是莫二离，发现好像就我一个人没调出来我这种做法，这说明我的代码能力太差了。

T2 可以用 bitset 搞到 60pts，但是赛时没想到。

感觉还是书上知识记得不牢的原因，导致 T1 写完的时间有点晚了。