[2024.11.11]NOIP模拟赛T2

赛时

T1 提议看懂以后立马意识到就是让求最长Border。

对于 $n\times m\le {10}^6$ 可以暴力建串然后直接 KMP。

容易发现如果 $s$ 循环元为 $n$，那么答案就是 $n\times (m-1)$。

否则加上最长循环元长度即可。

循环元还是用 KMP 求。

T2 让我想起了之前一道硬控我 3h 的题目。

先把 $n\le 500$ 写了，然后开始推 $k=1$，发现是一个二阶等差数列求和，答案是一个三次多项式。

于是我开始在纸上画，发现需要根据 $n$ 的奇偶性分类讨论。

结合前天 ABC-E 的贡献求法，累加答案，然后根据 $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$ 这个式子硬推+化简可以发现这种情况下 $n$ 为偶数时的答案是 $\frac{2}{3}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{3}n$。

其实一开始认为奇数的答案是一样的，但是样例过不去，然后发现此时贡献的分段界点会有变化，所以差别会很大。

然后我引入一个变量 $x=\lfloor n/2\rfloor$ 代表分界点，按照刚才的方法继续推，加上分界点新产生的贡献，终于发现这个答案是 $2n{x}^2-\frac{4}{3}x(x-1)(2x-1)+2x(2n-3x+1)+1$。（想吐）

这个思路特别有前途，因为 $k\ne 1$ 时除了初始项的值中间的二次差值是不变的。

先想 $op=1$ 的部分，结合差值的增量发现此时的分界点是 $\frac{n-k+1}{2}$。

有了这个，我再引入一个变量 $x=\frac{n-k+1}{2}$，就可以按照刚才的思路继续推了。依然需要根据奇偶性分类考虑，然后我发现偶数的答案是 $2nx(2x-1)-\frac{4}{3}x(x-1)(2x-1)-2x(x-1)$。

本来想继续推奇数的，但是看着已经 11:00 了，就打算先把这些写了。

然后写着写着发现特别难调，然后我就调到了 11:50。

嗯，这下这个蛇型矩阵就一共硬控我 3+3=6h 了。

此时我 T2 的期望是 40pts。

赛后

发现 T2 我每次都输出了 $ans$ 导致爆蛋，成功拿下机房倒数。

看见有人前三题都过了，瞬间意识到自己是个废物。

没办法，继续推 T2。

又推了 10min 得出 $n$ 为奇数的答案是 $2nx(2x+1)-\frac{4}{3}x(x-1)(2x-1)-6x^2+2x+k$。

调了 20min 后成功获得 70pts。

开始讲题了，大概懂了 T3T4 的思路。

继续写 T2。

现在剩下 $op=2$，发现分界点 $x$ 依然是 $\frac{n-k+1}{2}$。

因为彼此之间是旋转 180° 的关系，我觉得两种情况是类似的。

然后推着推着我发现差别大的远超出预期。

但好在基本思路不变，然后我发现 $n$ 为 偶数的答案是 $2x(x-1)(2n-3)-\frac{4}{3}x(x-1)(2x-1)+6nx-4x$。

最后一种情况了，冲！

好在不难，又推了一会发现答案是 $2x(x-1)(2n-3)-\frac{4}{3}x(x-1)(2x-1)+6nx-4x-k-2+4n(x+1)-4x(x+2)$。

虽然但是，用心的你能发现当这种东西出现 $\mathrm{\%}=998244353$ 时，想出来和码出来和过掉之间的距离就不是一般的大了。

然后我又被硬控了 1h。

终于过掉了。

发现自己用时最短。

我尝试删掉暴力那一档分段，然后发现自己用时是标程的 $0.39$ 倍，空间是标程的 $0.74$ 倍。

嗯……虽然但是 T3T4 连暴力都没写，大考中这样的话就真的废了。

但是好在我认为 NOIP 不会出这种题目。

T3 听懂以后发现并不难，关键是发现新图重构树的性质和转化题意。

T4 也是有分可拿。

这场 T2 和之前那场一样都是规律题，一旦开始写就感觉写不出来很亏，以至于浪费了全部时间。

但是同时我意识到自己赛时还是思维能力不足的表现。

彩蛋：我的 T2 代码：

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
	int w=1,s=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){s=s*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return w*s;
}
const int maxn=2e6+10;
const int mod=998244353;
const int inf=1e9+7;	
int n,op,k;
int ans=0;
int x,y;
int a[5010][5010];
int dx[4]={1,0,-1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
void Sub(int X,int Y)
{
	int nd=0,nt=1;
	int x=1,y=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	a[i][j]=0;
	while(nt<=n*n)
	{
		a[x][y]=nt;
		int xx=x+dx[nd],yy=y+dy[nd];
		if(xx<1||xx>n||yy<1||yy>n||a[xx][yy])
		{
			nd=(nd+1)%4;
			xx=x+dx[nd],yy=y+dy[nd];
		}
		x=xx,y=yy;nt++;
	}
	x=X,y=Y;
	int res=0;
	while(x<=n&&y<=n)
	{
		(res+=a[x][y])%=mod;
		x++;y++;
	}
	ans^=res;
	return ;
}
int qw(int x,int y)
{
	int res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int inv3,inv2;
void Main()
{
	n=read(),op=read(),k=read();
	if(op==1)x=k,y=1;
	else x=1,y=k;
	int res=0;
	if(k==1)
	{
		if(n%2==0)
		{
			res = res + n * n % mod * n % mod * 2 % mod * inv3 % mod;
			res%=mod;
			res=res + n * inv3 % mod;
			res%=mod;
			res=res - n * n % mod * inv2 % mod;
			res=(res%mod+mod)%mod;
			ans^=res;
			return ;
		}
		int x=n/2;
		res=res + 4 * n % mod * x % mod * (x-1) % mod;
		res%=mod;
		res=res + n * 2 % mod * x % mod;
		res%=mod;
		res=res - 4 * x % mod * (x-1) % mod * (2*x-1) % mod * inv3 % mod;
		res=(res%mod+mod)%mod;
		res=res - 2 * x % mod * (x-1) % mod;
		res=(res%mod+mod)%mod;
		res=res + 1 + 4 * x % mod * (n - x) % mod;
		res%=mod;
		ans^=res;
		return ;
	}
	if(op==1)
	{
		if((n-k)&1)
		{
			int x=(n-k+1)/2;
			res = res + 4 * x % mod * (x-1) % mod * n % mod; 
			res%=mod;
			res = res - 4 * x % mod * (x-1) % mod * (2*x-1) % mod * inv3 % mod;
			res=(res+mod)%mod; 
			res = res - 2 * x * (x-1) % mod;
			res=(res+mod)%mod; 
			res = res + 2 * n % mod * x % mod;
			res%=mod;
			ans^=res;
			return ;
		}
		int x=(n-k+1)/2;
		res = res + 4 * x % mod * (x-1) % mod * n % mod; 
		res%=mod;
		res = res - 4 * x % mod * (x-1) % mod * (2*x-1) % mod * inv3 % mod;
		res=(res%mod+mod)%mod; 
		res = res - 2 * x % mod * (x-1) % mod % mod;
		res=(res%mod+mod)%mod; 
		res = res + 2 * n % mod * x % mod;
		res%=mod;
		res = res + k + 4 * x % mod * (n-x) % mod;
		res%=mod;
		ans^=res;
		return ;
	}
	if((n-k)&1)
	{
		int x=(n-k+1)/2;
		res = res + 2 * (n-2) * x % mod * (x-1) % mod;
		res%=mod;
		res = res - 4 * x * (x-1) % mod * (2*x-1) % mod * inv3 % mod;
		res=(res%mod+mod)%mod;
		res = res + 2 * (n-1) % mod * x % mod * (x-1) % mod;
		res%=mod;
		res = res + 6 * n % mod * x % mod;
		res%=mod;
		res = res - 4 * x % mod;
		res=(res%mod+mod)%mod;
		ans^=res;
		return ;
	}
	int x=(n-k+1)/2;
	res = res + 2 * (n-2) * x % mod * (x-1) % mod;
	res%=mod;
	res = res - 4 * x * (x-1) % mod * (2*x-1) % mod * inv3 % mod;
	res=(res%mod+mod)%mod;
	res = res + 2 * (n-1) % mod * x % mod * (x-1) % mod;
	res%=mod;
	res = res + 6 * n % mod * x % mod;
	res%=mod;
	res = res - 4 * x % mod - k - 2;
	res=(res%mod+mod)%mod;
	res = res + 4 * n % mod * (x+1) % mod;
	res%=mod;
	res = res - 4 * x % mod * (x+2) % mod;
	res=(res%mod+mod)%mod;
	ans^=res;
	return ;
}
signed main()
{
#ifdef Lydic
    freopen(".in","r",stdin);
    freopen(".out","w",stdout);
#else
	freopen("maze.in","r",stdin);
	freopen("maze.out","w",stdout);
#endif
	inv3=qw(3,mod-2);
	inv2=qw(2,mod-2);
	int T=read();
	while(T--)Main();
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}