题解：CF573D Bear and Cavalry

因为这是远古题目，所以根据现在的评测机速度，用 $O(nq)$ 的做法也是可以过的。

也就是说，我们可以每次操作直接修改对应位置上的数字，然后设计一种 $O(n)$ 的算法求解答案。

这道题类似资源分配型动态规划，所以我们可以设 $d{p}_i$ 表示分配前 $i$ 个人的答案。

直接写是不行的，我们根据排序不等式先把 $a$ 和 $b$ 数组排序，然后进行转移。首先有一个结论，在当前的状态下，$i$ 只能由 $[i-2,i]$ 中间的状态转移过来，因为我们要求人和马连边以后逆序对数量最少，但是因为题目限制，所以 $[i-2,i]$ 之间的状态我们都需要考虑。

所以我们分四种情况转移，画个图方便理解（图很丑谅解一下）：

然后根据上图我们可以列出来四个方程：

$$d{p}_i=max\{\begin{array}{lc}d{p}_{i-1}+a_i{b}_i& ch(i,i)\\ d{p}_{i-2}+a_i{b}_{i-1}+a_{i-1}{b}_i& ch(i,i-1)\mathrm{and}ch(i-1,i)\\ d{p}_{i-3}+a_i{b}_{i-2}+a_{i-2}{b}_{i-1}+a_{i-1}{b}_i& ch(i-2,i-1)\mathrm{and}ch(i-1,i)\mathrm{and}ch(i,i-2)\\ d{p}_{i-3}+b_i{a}_{i-2}+b_{i-2}{a}_{i-1}+b_{i-1}{a}_i& ch(i-2,i)\mathrm{and}ch(i,i-1)\mathrm{and}ch(i-1,i-2)\end{array}$$

其中 $ch(i,j)$ 的含义是 $a_i$ 和 $b_j$ 可以匹配。

为了维护 $ch$ 这个条件，我们不妨存储 $a$ 数组和 $b$ 数组每个元素的编号，并设立一个新数组 $fa$，然后令 $f{a}_i$ 表示 $a_i$ 对应的 $b$ 的编号。

然后我们可以给出 $ch$ 的代码。

bool ch(int x,int y)
{
    return fa[a[x].id]!=b[y].id&&x>0&&y>0;
}

每次修改的时候对于修改的两个位置 $x,y$ 我们直接交换 $f{a}_x$ 和 $f{a}_y$ 即可。

然后这道题就结束了。

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