万能的哈希

本章节将介绍哈希如何实现 KMP 与 manacher。

KMP

我们对于文本串 $s$ 和模式串 $t$，先用一个数组 $ha{s}_i$ 表示 $s$ 中 前 $i$ 位的哈希值，用 $hat$ 表示 $t$ 的哈希值。

然后遍历 $s$，计算以第 $i$ 位为起点的长度为 $|t|$ 的区间的哈希值，与 $hat$ 比较，累加答案即可。

跑得飞快，复杂度碾压 KMP 好不好~

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1e6+10;
char s[maxn],t[maxn];
int n,m,ans;
int hat,has[maxn],p[maxn]={1};
int work(int l,int r)
{
	return has[r]-has[l-1]*p[r-l+1];
}
signed main()
{
	cin>>(s+1)>>(t+1);
	n=strlen(s+1),m=strlen(t+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		has[i]=has[i-1]*131+(s[i]-'0');
		p[i]=p[i-1]*131;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)hat=hat*131+(t[i]-'0');
	for(int l=1;l<=n-m+1;l++)
	{
		int r=l+m-1;
		if(work(l,r)==hat)ans++;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

manacher

设原字符串为 $s$，先预处理从后往前和从前往后两个哈希数组，设为 $fr$ 和 $en$。那么对于一个子串 $s_{l,r}$，设 $get1$，$get2$ 分别为两个哈希数组对于该区间的哈希值，那么它是回文串的充要条件为 $get1=get2$，从而可以做到 $\mathcal{O}(1)$ 判断回文串。

朴素做法是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的，用上述做法可以优化到 $\mathcal{O}(n^2)$，依然过不去，怎么办呢？

考虑设 $d{p}_r$ 表示以 $r$ 结尾的最长回文串长度。容易发现如果一个回文串以 $r$ 结尾，如果把长度为 $1$ 的串特判掉以后，它一定是由一个以 $r-1$ 结尾的回文串拼接两个字符组成的。

所以就找到以 $r-1$ 结尾的回文串之前的那个字符，容易推出它的位置是 $r-d{p}_{r-1}$，然后我们定义 $l$ 为从刚刚提到的位置向右移动时当前的位置，那么我们用哈希 $\mathcal{O}(1)$ 判断当前串 $[l,r]$ 是否为回文串，然后如果是跳出循环，否则 $l\leftarrow l+1$ 即可。

最后遍历 $dp$ 数组，找到最大值输出即可，复杂度接近线性。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1.1e7+10;
char s[maxn];
int n,fr[maxn],en[maxn],p[maxn];
int dp[maxn];
bool check(int l,int r)
{
	int get1=fr[r]-fr[l-1]*p[r-l+1];
	int get2=en[l]-en[r+1]*p[r-l+1];
	return get1==get2;
}
signed main()
{
	cin>>(s+1);
	n=strlen(s+1);p[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){fr[i]=fr[i-1]*171+(s[i]-'0');p[i]=p[i-1]*171;}
	for(int i=n;i>=1;i--){en[i]=en[i+1]*171+(s[i]-'0');}
	dp[1]=1;dp[2]=(s[1]==s[2]?2:1);
	for(int r=3;r<=n;r++)
	{
		int l=r-dp[r-1];
		if(l!=1)l--;
		while(l<r)
		{
			if(check(l,r))break;
			l++;
		}
		dp[r]=r-l+1;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}