CSP-S2019

括号树#

题意：给定一棵树，以 $1$ 为根，每个点有字符 ( 或 )。

定义 $s_i$ 为 $i$ 到根的路径的子串中合法括号序列的个数，求 $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}i\times s_i$，$1\le n\le 5\times {10}^5$。

记 $p_i$ 为 $i$ 的父亲，$a_i$ 为 $i$ 到根的路径以 $i$ 结尾的合法括号序列个数。

显然有 $s_i=s_{p_i}+a_i$，只要求 $a_i$ 即可。

dfs 过程中模拟栈匹配，假设 $i$ 是 ) 且能和某个未被匹配的 ( $j$ 匹配，$a_i=a_j+1$。

时间复杂度 $O(n)$。submission

划分#

题意：长度为 $n$ 的数组 $\{a\}$，求一个划分 $S=\{p_1,p_2,\cdots ,p_k\}$ 满足：

$$\sum _{i=1}^{p_1}{a}_i\le \sum _{i=p_1+1}^{p_2}{a}_i\le \cdots \le \sum _{i=p_k+1}^n{a}_i$$

最小化

$$(\sum _{i=1}^{p_1}{a}_i{)}^2\le (\sum _{i=p_1+1}^{p_2}{a}_i{)}^2\le \cdots \le (\sum _{i=p_k+1}^n{a}_i{)}^2$$

数据范围：$1\le n\le 4\times {10}^7$。

设 $f(i,j)$ 表示长度为 $i$ 的前缀，最后一个分割点在 $j$ 的最小值：

$$f(i,j)=(s_i-s_j{)}^2+\underset{(s_i-s_j{)}^2\ge (s_j-s_k{)}^2}{min}f(j,k)$$

存在结论：$f(i,j)\le f(i,j-1)$。

• 只有一个分割点，两部分分别为 $x,y$，在 $y-x>1$ 的前提下，$x\leftarrow x-1,y\leftarrow y-1$ 显然更优。

• 否则设分割点数为 $k$，假设对于 $1\sim k-1$ 都已经满足这个性质。

  将最后一个点左移：

  假设存在 $j$，使得 $1\sim j$ 保持不动，$(j+1,k]$ 集体左移，在维持不降性质的同时使答案变小。

  可以看作 $[p_j+1,i]$ 上的一个子问题，而其规模小于 $k$，已经被证明不优了；

  否则所有分割点集体左移，设第 $i$ 段长度为 $l_i$，存在一种最优方案使前 $k$ 段每段长度不增。

  即：$l_i\leftarrow l_i-x_i,l_{k+1}\leftarrow l_{k+1}+\sum x_i$。

  结论成立的一个充分条件为：$l_i\leftarrow l_i-1,l_{k+1}\leftarrow l_{k+1}+1$ 不优，这是显然的。

因此每个 $f(i)$ 的转一段是唯一的，记作 $pr{e}_i$。

需要满足 $s_i-s_{pr{e}_i}\ge s_{pr{e}_i}-s_{pr{e}_{pr{e}_i}}$，移项即 $s_i\ge 2s_{pr{e}_i}-s_{pr{e}_{pr{e}_i}}$。

单调栈找到最大的 $j$ 满足 $s_i\ge 2s_j-s_{pr{e}_j}$，那么 $pr{e}_i=j$，时间复杂度 $O(n)$。

不是很懂为什么要卡空间，把 $pre$ 处理出来后从后往前扫一遍即可，只要开一个 i128。

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树的重心#

题意：$x$ 为树的中心当且仅当其最大子树大小不超过 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，一棵树只可能有一个或两个重心。

删去边 $e$ 使整棵树分裂为两部分，求：

$$\sum _{e\in E}(\sum _{x\text{ 是 }{T}_1\text{ 的重心}}x+\sum _{y\text{ 是 }{T}_2\text{ 的重心}}y)$$

数据范围：$n\le 3\times {10}^5$。

选定原树的一个重心作为根 $rt$。

先考虑 $x\ne rt$ 的情况。

如果断点一条边后 $x$ 是重心，那么这条边不可能出现在 $x$ 子树内。

记 $s_x$ 为 $x$ 子树大小，则 $s_x\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，如果断在子树内，则包含一棵大小为 $n-s_x$ 的子树，与 $x$ 是重心矛盾。

设 $g_x$ 为 $x$ 最大子树大小，$S$ 为另一棵数的大小，需要满足：

$$\{\begin{array}{l}2g_x\le n-S\\ \\ 2(n-S-s_x)\le n-S\end{array}$$

整理一下：

$$n-2s_x\le S\le n-2g_x$$

对于一个 $x$，要找满足以下条件的边的个数：

• $n-2s_x\le S\le n-2g_x$。
• 不在 $x$ 子树内。

只考虑第一个限制：对于 $f{a}_u$ 到 $rt$ 的链，$S=n-s_y$，其他地方 $S=s_y$，容易用树状数组维护。

利用出入子树时的增量把第二部分容斥掉（可以线段树合并）。

考虑 $rt$ 作为根的次数，只关心最大子树 $x$ 和次大子树 $y$，分类讨论断边位置即可。

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树上的数#

讲一下 CSP-S 史上最难题《树上的数》（只需入门组知识就能做的黑题）