CSP2024-38
2A
题意：定义 \(S(n, k)\) 为 \(n\) 在 \(k\) 进制下的数位和。
给定 \(n, k, x\)，求 \(\sum_{i = 2}^k[S(n, i) \le x]\)。\(n \le 10^{12},\ k, x \le 10^{18}\)。
-
\(i \le \sqrt n\)，直接枚举。
-
\(i > \sqrt n\)，最多两位数，总和等于 \(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor + (n\bmod i) = n - (i - 1) \lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\)。
枚举 \(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\)，算合法范围即可。
时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。submission
A
题意：\(n\times m\) 的网格，每个位置可以水平和垂直方向各连一条边。
当且仅当两个位置互相连边会产生价值 \(a_i \oplus a_j + \text{popcount}(a_i \oplus a_j)\)，问最大价值和。
不难发现每行每列都是独立的，分别做线性 DP 即可。
B
题意：维护长度为 \(n\) 的序列，每次全局加减一个数，对 \(0\) 取 \(\max\)，\(a_i\) 对 \(i\) 取 \(\max\)，求全局和。
数据范围：\(n\le 10^9,q \le 10^6\)。
（由于题解图画太好了，所以全部贺过来了）
初始状态，高度代表容量。
初始 \(l, r\) 指针汇聚在 \(0\)，加水对应 \(r\) 上升，减水对应 \(l\) 上升。
此时如果再加水可以发现是从最底层开始加的，即新增指针 \(l_1 = 1,\ r_2 = d\)。
如果 \(r\) 与上次层的 \(l\) 相遇，则两部分合并，并向上溢出。
此时再减水是从下往上考虑每个区间，上移 \(l\) 直到 \(l, r\) 相遇，该区间消失。
栈维护所有区间，栈顶存储最底下的元素，时间复杂度 \(O(q)\)。
C
题意：长度为 \(n\) 的序列，初始将 \(m\) 段区间染成黑色（可以重复染色）。
一次操作定义为将长度为 \(x\) 的区间染成黑色，求至多 \(k\) 次操作后最长连续黑色区间长度。
数据范围：\(1\le, k, x\le n\le 10^9,\ 1\le m \le 10^5\)。
首先可以一边扫描将有交区间全部合并。
如果答案区间不包含原区间：贡献为 \(\max(n, k\times x)\)。
否则枚举其包含的最左侧的原区间：
左边的决策：一直放 \([l- x,\ l - 1]\)，\(l\) 表示当前左端点（\(l - x < 1\) 时可能向右偏移部分，此时产生负贡献）。
右边的决策：一直放 \([r + 1, r + x]\)，如果 \(r\) 被包含在某个原有区间 \([l_0, r_0]\)，直接跳到 \(r_0 + 1\)，产生正贡献。
这里的正负贡献都是相对于 “不考虑原区间，直接放” 而言的。
显然是要让正贡献越多越好，即往右边跳越多个原区间。
对于某个线段 \([l_0, r_0]\)，显然是一直跳与 \(r_0 + 1\) 在模 \(x\) 意义下同余的位置，直到被某个右侧线段覆盖。
这可以从后往前线段树维护区间覆盖得到（当然可以颜色均摊段）。
考虑倍增，找到最多能在 \(k\) 限制下跳多少个线段，然后利用剩余步数往左右延伸即可。
