20241009做题记录

[BJOI2014] 路径#

题意：给定一张无向图，每个点有一个字符 $c$ 作为点权，$\sum =\{+,-,\times ,/,0\sim 9,(,)\}$。

求长度为 $k$ 的路径数量，使得路径上的字符连起来是合法的算术表达式。$n\le 20,k\le 30$。

肯定是按路径长度一层一层 dp。

设 $f(k,i,j)$ 表示长度为 $k$，最后一个点在 $i$，有 $j$ 个左括号未匹配的未来可能合法路径数。

由于表达式中的数字不能有前导零，再开一维 $0/1$ 表示能不能直接在后面接上一个数字即可（如果 $i$ 是数字）。

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[雅礼集训 2019 Day5] matrix#

题意：定义一个矩阵的权值为其本质不同行的个数，两个行本质相同当且仅当他们完全相同。

给定一个 $n\times m$ 的矩阵，求其所有子矩阵的权值和，$n\times m\le {10}^5$。

钦定字符串 $s$ 以及左右边界 $l,r$，考虑行的集合 $S=\{i|M_i(l,r)=s\}=\{a_1,a_2,\cdots ,a_k\}$。

对于每一个子矩阵，行 $i$ 产生 $1$ 的贡献当且仅当他在这个矩阵中第一次出现（从上往下遍历）。

因此整个 $S$ 对答案的贡献为 $\sum (a_i-a_{i-1})(n-a_i+1)$，$a_0$ 视作 $0$。

枚举 $s,l,r$ 是不可取的，不妨先钦定 $l=1$。

对每行建出 trie 树，节点 $p$ 对应一个矩阵中出现过的左端点为 $1$ 的字符串。

对每个节点维护集合 $S_p$，表示包含串 $p$ 的行，可以在插入过程中同时维护每个 $S_p$ 的贡献以及总贡献。

令 $l\to l+1$，这个操作会删掉根节点的所有儿子，并将所有孙子节点连接到根上。

启发式合并孙子节点的集合，时间复杂度 $O(nm{\log }^2(nm))$。

合并两颗树的复杂度：如果其中一棵为空直接返回；否则会使整张图总点数减 $1$，复杂度均摊线性。

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[雅礼集训 2019 Day7] Inverse#

题意：给定排列 $\{p\}$，每次等概率挑选一个区间 $[l,r]$ 并翻转，求 $k$ 次后的期望逆序对数。

数据范围：$n\le 500,k\le 50$。

设 $f(k,l,r)$ 为 $k$ 轮操作后 $p_l>p_r$ 的概率，那么答案即：

$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l+1}^{n}f(k,l,r)$$

设当前轮翻转 $[L,R]$：

1. $(R<l)\vee (L>r)\vee (l<L\le R<r)$。

   $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(l,r)\leftarrow (c_{l-1}+c_{n-r}+c_{r-l-1})\times f(l,r)\\ \\ & c_i=\frac{i(i+1)}{2}\end{array}$$

2. $L\le l\le R<r$。

   $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(l,r)& \leftarrow \sum _{L=1}^l\sum _{R=l}^{r-1}f(R+L-l,r)\\ \\ & \leftarrow \sum _{L=1}^l\sum _{i=0}^{r-l-1}f(L+i,r)\\ \\ & \leftarrow \sum _{L=1}^l{s}_0(L+r-l-1,r)-\sum _{L=1}^l{s}_0(L-1,r)\\ \\ & \leftarrow s_0^{\prime }(r-1,r)-s_0^{\prime }(r-l-1,r)-s_0^{\prime }(l-1,r)\end{array}$$

3. $l<L\le r\le R$。

   $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(l,r)& \leftarrow \sum _{L=l+1}^r\sum _{R=r}^{n}f(l,L+R-r)\\ \\ & \leftarrow \sum _{L=l+1}^r\sum _{i=0}^{n-r}f(l,L+i)\\ \\ & \leftarrow \sum _{L=l+1}^r{s}_1(l,L+n-r)-\sum _{L=l+1}^r{s}_1(l,L-1)\\ \\ & \leftarrow s_1^{\prime }(l,n)-s_1^{\prime }(l,l+n-r)-s_1^{\prime }(l,r-1)+s_1^{\prime }(l,l)\end{array}$$

4. $L\le l<r\le R$。

   $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(l,r)& \leftarrow \sum _{L=1}^l\sum _{R=r}^{n}1-f(L+R-r,L+R-l)\\ \\ & \leftarrow l\times (n-r+1)-\sum _{L=1}^l\sum _{i=0}^{n-r}f(L+i,L+i+r-l)\end{array}$$

   设 $g(l,r)=f(l,l+r)$，则：

   $$\begin{array}{rl}& \leftarrow su{m}_{L=1}^l\sum _{i=0}^{n-r}g(L+i,r-l)\\ \\ & \leftarrow \sum _{L=1}^l{s}_2(L+n-r,r-l)-\sum _{L=1}^l{s}_2(L-1,r-l)\\ \\ & \leftarrow s_2^{\prime }(l+n-r,r-l)-s_2^{\prime }(n-r,r-l)-s_2^{\prime }(l-1,r-l)\end{array}$$

时间复杂度 $O(n^{2}k)$。submission

[雅礼集训 2019 Day7] Subsequence#

题意：定义子序列 $\{a_{p_1},a_{p_2},\dots ,a_{p_k}\}$ 的权值为 $\sum _{i=1}^{k}i\times a_{p_i}$。

给定数组 $a$，对于每个长度 $1\sim n$，求出对应长度子序列的最大权值。$n\le {10}^5$。

朴素 DP：$f_{i,k}$ 表示前 $i$ 个数长度为 $k$ 的子序列的最大权值，$f_{i,k}\leftarrow max(f_{i-1,k},f_{i-1,k-1}+k\times a_i)$，复杂度 $O(n^2)$。

[雅礼集训 2019 Day8] union#

题意：给出 $n$ 个点，$i,j$ 有 $a_{i,j}$ 种不同的连边方式。求本质不同无向连通图个数。

设 $g_S$ 表示点集 $S$，不管他连不连通的全部方案：

$$g_S=\prod _{i<j\in S}(a_{i,j}+1)$$

设 $f_S$ 表示点集 $S$ 连通的方案数。

枚举 $S$ 所包含最小元素 $x$ 所在连通块 $T$：

$$g_S=\sum _{x\in T,T\subseteq S}f(T)\times g(S\setminus T)$$

这样转移的坏处在于需要额外判断 $x\in T$，不妨设

$$g_S^{\prime }=\{\begin{array}{ll}{g}_S& x\notin S\\ 0& x\in S\end{array}$$

那么

$$g_S=\sum _{T\subseteq S}f(T)\times g^{\prime }(S\setminus T)$$

写成子集卷积的形式：

$$\begin{array}{rl}g& =f\ast g^{\prime }\\ f& =g\ast {\left(g^{\prime }\right)}^{-1}\end{array}$$

这里的 $g^{\prime }$ 就是对于全集而言的了。

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子集卷积（集合无交并）#

$f=g\ast h$，满足：

$$f_S=\sum _{T\subseteq S}{g}_T\times h_{S\setminus T}$$

两个集合无交当且仅当 $|S|+|T|=|S\cup T|$。

令 $G_{i,S}=[|S|=i]\times g_S$：

$$F_{i,S}=\sum _{j+k=i\wedge T\cup R=S}{G}_{j,T}\times H_{k,R}$$

有 $f_S=[x^S{y}^{|S|}]$。

对每行做莫比乌斯变换：

$${\hat{F}}_i=\sum _{j+k=i}{\hat{G}}_j\cdot {\hat{H}}_k$$

$\cdot$ 表示对应位相乘。

枚举 $i,j$，将 ${\hat{G}}_i\cdot {\hat{H}}_j$ 的结果加到 ${\hat{F}}_{i+j}$ 上，时间复杂度 $O(n^2{2}^n)$。

子集逆卷积#

求 $f$ 在子集卷积意义下的逆元 $g$。

$$f\ast g=e$$

其中单位元 $e$ 满足 $e_i=[i=0]$。

$${\hat{E}}_i=\sum _{j+k=i}{\hat{F}}_j\cdot {\hat{G}}_k$$

首先 ${\hat{E}}_0={\hat{F}}_0\cdot {\hat{G}}_0⟹{\hat{G}}_{0,i}={\hat{F}}_{0,i}^{-1}$（因为 ${\hat{E}}_{0,i}=1$）。

${\hat{E}}_i={\hat{F}}_0\cdot {\hat{G}}_i+\sum _{j>1}{\hat{F}}_j\cdot {\hat{G}}_{i-j}$，在前 $i-1$ 行已知的情况下能够递推出 ${\hat{G}}_i$（不难发现每位独立）。

[雅礼集训 2019 Day8] traffic#

题意：给定一棵以 $1$ 为根的树，$n\le {10}^5$。

对于每个节点 $u$，将 $u$ 删去，并可以改变一个节点的父亲（不能是根和 $u$ 的儿子），求最小化剩余连通块最大值。

贪心的考虑，肯定是将最大连通块 $M$ 的某棵子树接到最小连通块上，因此答案的下界为次大连通块。

二分答案，判定最终结果是否有可能 $\le \text{mid}$。

目标转化为判断 $M$ 中是否存在一棵大小属于 $[\text{mx - mid},\text{mid - mi}]$ 的子树（$max(\text{mx}-\mathrm{\Delta },\text{mi}+\mathrm{\Delta })\le \text{mid}$）。

线段树合并维护子树 size。

• 如果 $M$ 为 $u$ 的子树，直接在 $M$ 的线段树中查询。

• 如果 $M$ 为根所在连通块，做一个简单容斥：

  $$\text{全局}[L,R]-u\text{ 的子树}[L,R]-f{a}_u\text{ 到根的链}[L,R]+f{a}_u\text{ 到根的链}[L+s{z}_u,R+s{z}_u]$$

注意合并子树的时刻即可。

$f{a}_u$ 到根的信息可用树状数组在 dfs 的同时维护。submission