DP套DP

该技巧通常用来求满足某个要求的元素数量，而对于要求的判定需要 DP 解决。

因此我们将判定 DP 的结果作为计数 DP 的状态来进行计数。

P4590 [TJOI2018] 游园会#

题意：给你一个字符串 $s$，求满足条件的字符串 $t$ 的数量：$|t|=n,\text{lcs}(s,t)=i,\text{"NOI"}\notin t$。

对每个 $i\in [0,|s|]$ 求出答案。$|s|\le 15,n\le {10}^3,\sum =\{\text{N},\text{O},\text{I}\}$。

设 $f_{i,j}$ 表示 $t$ 的前缀 $i$ 和 $s$ 的前缀 $t$ 的 lcs（最长公共子序列）：

$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{f}_{i-1,j-1}+1& t_i=s_j\\ \\ max(f_{i-1,j},f_{i,j-1})& t_i\ne s_j\end{array}$$

要想得到 $f_i$，我们只需知道 $f_{i-1}$ 和 $t_i$，且每种方案唯一对应一组 $f_{i-1},t_i$。

把 $f_i$ 压入状态减小复杂度。$dp(i,f_i)$ 表示考虑了前 $i$ 个字符，第 $i$ 维 dp 数组为 $f_i$ 的方案数，枚举 $t_i$ 转移

合法的 $f_i$ 实际很少，注意到 $0\le f_{i,j}-f_{i,j-1}\le 1$，每一种合法方案差分后能唯一对应一个长度为 $|s|$ 的二进制数。

对于子串的限制，再记录一维 $k$ 表示匹配到 "NOI" 的哪一位即可。

预处理每种 $f_{i-1}$ 以及 $t_i$ 会转移到哪个 $f_i$，时间复杂度 $O(2^{|s|}n)$。submission

CF578D LCS Again#

题意：给定字符串 $s$，求满足 $\text{lcs}(s,t)=n-1$ 的字符串数量。$n\le {10}^5$。

继续延续上题做法不是很牛，复杂度高达 $2^{n}n$。

考虑哪些状态是一定无用的。$\text{lcs}(i,j)\le min(i,j)$，后缀 $i,j$ 能匹配的最大长度是 $min(n-i,n-j)$。

必须满足 $min(i,j)+min(n-i,n-j)=n-|i-j|\ge n-1$ 才可能对答案产生贡献。

需要考虑的状态一共就三个：$f_{i,i-1},f_{i,i},f_{i,i+1}$。

再注意到 $f_{i,j}\ge min(i,j)-1$，否则也不能产生贡献。

设 $d{p}_{i,0/1,0/1,0/1}$ 表示 三项分别为 $\{i-2,i-1\},\{i-1,i\},\{i-1,i\}$ 的方案数，复杂度 $O(|\sum |n)$。

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