矩阵树定理与BEST定理

行列式#

定义：$det(A)$，又记作 $|A|$，等于 $\sum _p(-1{)}^{\tau (p)}\prod _{i=1}^n{A}_{i,p_i}$，其中 $p$ 为 $1\sim n$ 的排列，$\tau (p)$ 表示排列 $p$ 的逆序对数。

1. 对于一个上三角矩阵，他的行列式等于主对角线所有值的乘积。

要使 $A_{n,p_n}\ne 0$，$p_n$ 只能取 $n$；要使 $A_{n-1,p_{n-1}}\ne 0$，$p_{n-1}\in \{n-1,n\}$，但是 $n$ 已经被用过了，$p_{n-1}=n-1$。

以此类推，使 $\prod A_{i,p_i}$ 非零的只有唯一一个排列 $p_i=i$，此时 $\tau (p)=0$。

2. 单位矩阵的行列式为 $1$，即 $|I|=1$。

根据 $I_{i,j}=[i=j]$ 以及 定理1 易证。

3. 交换矩阵两行，行列式变号。

交换 $i，j$ 等价于交换每个排列的 $p_i,p_j$，这会使所有 $\tau (p)$ 奇偶性改变，相当于整体乘了个 $-1$。

4. 将矩阵某行乘上一个常数，行列式乘上相同常数。

不妨将第 $r$ 行所有元素乘 $k$，$\prod _{i=1}^n{A}_{i,p_i}$ 恰好包含一个第 $r$ 行元素，把 $k$ 提出来。

5. 若矩阵有相同的两行，则行列式为 $0$。

交换两行会使行列式变号，但是矩阵没变，即 $|A|=-|A|⟹|A|=0$。

6. 若矩阵有两行存在倍数关系，则行列式为 $0$。

$k|A|=-k|A|⟹|A|=0$。

7. 若两个矩阵至多有一行不等，将这不等的一行相加得到的新矩阵的行列式等于原行列式之和。

设不等的行编号为 $c$，新矩阵 $S$ 满足 $S_i=A_i=B_i,S_c=A_c+B_c(i\ne c)$。

$\prod _{i=1}^n{S}_{i,p_i}=(A_{c,p_c}+B_{c,p_c})\prod _{i=1}^n[i\ne c]A_{i,p_i}=\prod _{i=1}^n{A}_{i,p_i}+\prod _{i=1}^n{B}_{i,p_i}$。

8. 将矩阵的某行加上另一行的倍数，行列式不变。

设把 $c$ 的 $k$ 倍加到 $d$ 上，设新矩阵为 $C$。

设 $B_i=A_i,B_d=k{A}_c(i\ne c)$，根据定理 7可得 $|A|+|B|=|C|$，根据定理6可得 $|B|=0$。

高斯消元#

步骤略。

P4783 【模板】矩阵求逆

题意：求一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 在模 ${10}^9+7$ 意义下的逆矩阵。

将 $A$ 进行线性变换相当于左乘一个矩阵，也就是说把 $A$ 变换（消元）到单位矩阵 $I$，相当于左乘 $A^{-1}$。

有恒等式 $A^{-1}\times A=I$，那么在 $A$ 变换到 $I$ 的同时 $I$ 也做同样的变换，最后得到 $A^{-1}\times I=A^{-1}$。

矩阵可逆当且仅当 $|A|\ne 0$，即满秩。submission

P7112 【模板】行列式求值

题意：给定一个 $n$ 阶行列式，求 $|A|$。结果对 $p$ 取模，不保证 $p$ 是素数。

把 $A$ 消成上三角矩阵，最后答案就是主对角线之积。

加上某一行的倍数不改变答案，而交换两行会使符号改变，因此记录交换了多少次。

没有必要对一行乘某个常数的操作，否则还有额外记录乘了多少东西。

$p$ 没有特殊性质，不能求逆元，因此采用类似「辗转相除法」对两行消元，时间复杂度 $O(n^3\log p)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define eb emplace_back
#define ep emplace
using namespace std;

using ll = long long;

int n, p, sgn; ll a[605][605];

int main() {
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
	cin >> n >> p;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for(int j = 1; j <= n; ++ j) {
			cin >> a[i][j];
			a[i][j] %= p;
		}
	}
	for(int k = 1; k <= n; ++ k) {
		for(int i = k; i <= n; ++ i) {
			if(a[i][k]) {
				if(i != k) {
					swap(a[i], a[k]), sgn ^= 1;
				}
				break;
			}
		}
		if(!a[k][k]) return cout << 0, 0;
		for(int i = k + 1; i <= n; ++ i) {
			while(a[i][k]) {
				if(a[i][k] < a[k][k]) {
					swap(a[i], a[k]), sgn ^= 1;
				} 
				ll q = a[i][k] / a[k][k];
				for(int j = k; j <= n; ++ j) {
					a[i][j] = (a[i][j] + p - q * a[k][j] % p) % p;
				}
			}
		}
	}
	ll tmp = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) tmp = tmp * a[i][i] % p;
	cout << (sgn ? (p - tmp) % p : tmp);
	return 0;
}

矩阵树定理#

无向图生成树个数

设 $G$ 是一个有 $n$ 个点的无向图，定义度数矩阵 $D$ 为：

$$D_{ii}=\mathrm{deg}(i),D_{ij}=0,i\ne j$$

设 $e(i,j)$ 表示点 $i$ 与点 $j$ 相连的边数，并定义邻接矩阵 $A$ 为：

$$A_{ij}=A_{ji}=e(i,j),i\ne j$$

定义拉普拉斯矩阵：

$$L=D-A$$

记图 $G$ 的所有生成树个数为 $t$。

$$t(G)=detL\left(\begin{array}{c}1,2,\cdots ,i-1,i+1,\cdots ,n\\ 1,2,\cdots ,i-1,i+1,\cdots ,n\end{array}\right)$$

其中记号 $L(G)(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,\cdots ,i-1,i+1,\cdots ,n}{1,2,\cdots ,i-1,i+1,\cdots ,n})$ 表示矩阵 $L$ 的第 $[1,i)(i,n]$ 行与 $[1,i)(i,n]$ 列构成的子矩阵。

无向图拉普拉斯矩阵所有 $n-1$ 阶主子式都相等。

有向图生成树个数

定义出度矩阵 $D_{out}(i,i)={\mathrm{deg}}^{out}(i),D_{out}(i,j\ne i)=0$。

设 $e(i,j)$ 表示 $i$ 指向 $j$ 的有向边数，定义邻接矩阵 $A$：

$$A_{ij}=e(i,j),j\ne i$$

定义出度拉普拉斯矩阵 $L_{out}$：

$$L_{out}=D_{out}-A$$

同理定义入度矩阵 $D_{in},L_{in}$。

记以 $r$ 为根的所有内向生成树个数为 $t^{root}(r)$，内向表示所有边全部指向父亲。

记以 $r$ 为根的所有外向生成树个数为 $t^{leaf}(r)$，外向表示所有边全部指向儿子。

$$\begin{array}{r}{t}^{root}(r)=det{L}_{out}\left(\begin{array}{c}1,2,\cdots ,k-1,k+1,\cdots ,n\\ 1,2,\cdots ,k-1,k+1,\cdots ,n\end{array}\right)\\ \\ t^{leaf}(r)=det{L}_{in}\left(\begin{array}{c}1,2,\cdots ,k-1,k+1,\cdots ,n\\ 1,2,\cdots ,k-1,k+1,\cdots ,n\end{array}\right)\end{array}$$

边权积的和

对于一条 $(u,v,w)$ 会对该方案贡献 $w$ 的系数，这等价于拆成 $w$ 条 $(u,v)$，方案数乘 $w$。

BEST定理#

设 $G$ 是有向欧拉图，那么 $G$ 的不同欧拉回路总数：

$$ec(G)=t^{root}(k)\prod _{v\in V}({\mathrm{deg}}_{out}(v)-1)!$$

欧拉图任意节点为根的外向树数量相等，且所有节点出度和入度相等（这也说明 $t^{root}(k)=t^{leaf}(k)$）。

注意：BEST定理只能在欧拉图上使用。

P5807 【模板】BEST 定理 | Which Dreamed It

题意：求从 $1$ 开始的欧拉回路数量。

对于一条欧拉回路，保留除 $1$ 外所有点路径中的最后一条出边，$1$ 的出边全部删掉。

此时图中一定无环。

这样除了 $1$ 每个点会被保留恰好一条出边，且整张图连通，形成一颗以 $1$ 为根的内向树。

我们钦定一棵内向树，然后对于其他边任意定顺序，一定唯一对应一个欧拉回路。

充分性有了，考虑必要性，显然每一个欧拉回路都唯一对应一颗内向树和其中遍历出边的顺序。

因此总方案就是

$$t^{root}(1)\times d_1!\times \prod _{i\ne 1}(d_i-1)!$$

由此可以引出BEST定理，统计整张图本质相同的欧拉回路个数（循环同构）。

$1$ 会在一个欧拉回路会出现 $d_1$ 次，每种方案都能旋转生成 $d_1$ 中以 $1$ 为起点的方案，因此每种方案被重复计算 $d_1$ 次：

$$t^{root}(1)\prod (d_i-1)!$$

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