CSP2024-24

2A#

题意：给定长度为 $n$ 的非负整数数组 $a$，求最小的 $r-l+1$ 满足 $l\le r,\sum _{i=l}^r{a}_i$ 是合数。

考虑全是正数的情况，答案一定 $\le 4$，考虑一下每个数的奇偶性即可。

那么就把所有正数及其位置存下来，使得 $b_i=a_{p_i}$，暴力检查 $b$ 中长度为 2/3 的段，和 $p_{i+3}-p_i+1$ 取 min。submission

A#

题意：给定数组 $a,b$，设 $f_i(x)=max(x+a_i,b_{i}x)$。每次给出 $l,r,x$，求 $f_r(f_{r-1}(\cdots f_l(x)\cdots ))modp$。

如果 $b_i=1$，肯定选 $x+a_i$；否则需要决策哪个更大，注意到当 $x>p$ 时一定是 $b_{i}x$ 更大。

因此暴力跳 $\log p$ 次 $b_i>1$ 的位置， 然后线段树维护一次函数复合得到剩余部分。submission

B#

题意：给出 $n$，$q$ 次询问。求边长为有理数且四个顶点均为两个坐标均在 $[1,n]$ 内的整点且其中一个坐标为 $(x,y)$ 的正方形个数。

边长不是整数就是无理数。考虑边与坐标轴不平行的情况。

补全下图红色正方形，四角是全等的勾股三角形。当 $(x,y)$ 作为该正方形最上面的角时，$(a,b)$ 回到一个矩形区域有 $1$ 的贡献（灰色）。

其他三个角同理。如果 $a+b<n$ 的勾股数对数足够小，那么直接枚举，做若干矩形覆盖，这是经典的二维数点问题。

考虑勾股数 $a^2+b^2=c^2$，设 $x=c+b,y=c-b$。

$$a=\sqrt{xy},b={\displaystyle \frac{x-y}{2}},c={\displaystyle \frac{x+y}{2}}$$

枚举所有正整数 $x,y$ 可以生成所有勾股数。

设 $n=\sqrt{{\displaystyle \frac{x}{2}}},m=\sqrt{{\displaystyle \frac{y}{2}}}$：

$$a=2nm,b=n^2-m^2,c=n^2+m^2$$

枚举所有正实数 $n,m$ 可以生成所有勾股数。

考虑本源勾股数 $(a,b,c)$，满足 $a,b,c$ 两两互质，其他勾股数都能用 $(ka,kb,kc)$ 表示。

其中，一定有 $a,b$ 一奇一偶：都是偶数，有公因子；两奇，则 $c$ 是偶数，$a^2+b^2\not\equiv c^2(\mathrm{mod}4)$，矛盾。

如果 $a$ 偶 $b$ 奇，则 $x,y$ 都是偶数，又因为 $b,c$ 互质，所以 ${\displaystyle \frac{x}{2}},{\displaystyle \frac{y}{2}}$ 互质。又由于 $nm$ 是整数，$n,m$ 只能都是整数。

如果 $a$ 奇 $b$ 偶，$x,y$ 都是奇数，$n,m$ 不可能是整数。

枚举正整数 $n,m$，可以生成所有本源勾股数 $(a,b,c)$ 恰好一次。

$c=\sqrt{a^2+b^2}<a+b<N$。$n^2+m^2=c\le \sqrt{N}⟹n,m\le \sqrt{N}$，只有 $O(N)$ 对。

对于 $(ka,kb,kc)$ 必须满足 $k\le \frac{N}{a+b}$，$a+b$ 相同的本源勾股数应该只有 $O(1)$ 对，最后会生成 $O(N\log N)$ 对勾股数。

submission

C#

题意：

D#