PKUSC2024 + CTS2024

回文路径

题意：$2\times n$ 的网格，每个格子有一个字符。从任意位置开始，每次向右/下走一格，任意位置停止。求路径是回文串的最大长度。

数据范围：$n\le {10}^5$。

枚举回文中心 $p$。设 $p$ 在第二行，假设他能在本行拓展到 $s_2[l,r]$，然后从 $l$ 往上走，使得 $s_1[l^{\prime },l]$ 和 $s_2[r+1,r^{\prime }]$ 匹配。

如果路径转折点 $x\in (l,p)$，一定要满足 $s_1[l-1,x]=s_2[l,x]$，才有可能与原路径长度相等。不可能超过原路径。submission

正方形计数

题意：给定格点凸 $n$ 边形的顶点 $(x_i,y_i)$。假定 $S$ 代表该 $n$ 边形内部与边上的格点集合。

求从 $S$ 中选择四个互不相同无顺序点 $(x,y,z,w)$ 的方案数，使得 $x,y,z,w$ 构成正方形。$n\le 8,0\le x_i,y_i\le 2000$。

独立

题意：给定一棵 $n$ 个点的树和正整数 $m$，每个点的权值在 $[1,m]$ 中等概率独立随机。

求不同方案的最大权独立集大小之和。$1\le n\le 2000,1\le m\le {10}^8$。

分流器

题意：

排队

题意：给定 $n$ 个区间 $[l_i,r_i]$，定义 $f_i(x)=x+[l_i\le x\le r_i]$。

$q$ 组询问，每次给出 $[L,R]$，输出 $f_R(f_{R-1}(\cdots f_L(0)))$。$1\le n,q\le {10}^6,0\le l_i\le r_i\le n$。

重要观察：对于 $i<j$， 有 $f(i,r)\ge f(j,r)$。

假设 $[i,j)$ 已经累计到 $x$，$f(j,r)$ 从 $0$ 开始累计，始终满足 $f(j,r)\le f(i,r)$，如果两者相等，则达到相同局面，后续增量也相同。

从左往右做扫描线，用数据结构维护所有的 $f(i,r)$，根据上述结论，随着 $i$ 的增大，答案不增。

也就是说，答案在 $[l_r,r_r]$ 之间的 $i$ 是一段连续区间，线段树上二分然后区间加。submission

最短路径

题意：

水镜

题意：给定长度为 $n$ 的正整数序列 $\{h\}$，求满足以下条件的二元组 $(u,v)$ 对数。

• $1\le u<v\le n$。
• 存在正实数 $L$ 和一个长度为 $v-u+1$ 的序列 $\{r\}$ 满足 $r_i\in \{h_i,2L-h_i\}$。
• $\mathrm{\forall }i\in [u,v),r_i<r_{i+1}$。

设 $p_i=max(h_i,2L-h_i)$。由于 $h_i,2L-h_i$ 关于 $L$ 对称，把序列 $r$ 分割成 $<L$ 和 $\ge L$ 两部分。

小于的部分 $min(h_i,2L-h_i)$ 单调递增，也就是 $p_i$ 单调递减；另一部分 $p_i$ 单调递增。

序列合法当且仅当存在 $t\in [l,r)$ 使得 $p_l>p_{l+1}>\cdots >p_t?p_{t+1}<\cdots <p_r$。其中 $?$ 表示大小关系任意。

注意到 $p_t=p_{t+1}=L$ 的特殊情况，此时只要使 $L$ 向下移 $ϵ$ 即可使 $[l,r]$ 合法。

直接统计条件过多，正难则反。如果存在 $i\in (l,r)$ 使得 $p_{i-1}\le p_i\ge p_{i+1}$，则序列非法，这是充要条件。

如果 $h_i>h_{i+1}$：

$$\begin{array}{r}{p}_i\ge p_{i+1}⟹L\le {\displaystyle \frac{h_i+h_{i+1}}{2}}\\ p_i\le p_{i+1}⟹L\ge {\displaystyle \frac{h_i+h_{i+1}}{2}}\end{array}$$

$h_i<h_{i+1}$ 的情况同理。如果 $h_i=h_{i+1}$，说明满足 $p_i\ge p_{i+1}$ 的 $L$ 的范围是全集 $U$。

非法条件 $p_{i-1}\le p_i\ge p_{i+1}$ 实际对应了 $L$ 的一个取值范围，设为 $I_i$。

$[l,r]$ 非法当且仅当 $\bigcup _{i=l+1}^{r-1}{I}_i=U$，非法情况的并是全集，则没有任何一个 $L$ 的取值能使 $[l,r]$ 合法。

扫描线统计有多少个数对 $l\le r$ 使得 $\bigcup _{i=l}^r{I}_i=U$，这和非法区间一一对应。

假设当前在 $r$，我们要找到最大的 $l$ 使得范围之并是全集，那么对于所有 $l^{\prime }\le l$ 的并也是全集。

把 $I_r$ 范围内的数全部覆盖成 $r$，那么要找的 $l$ 即全局最小值（没被覆盖的位置为 $0$）。

$n-1$ 个关键点 ${\displaystyle \frac{h_i+h_{i+1}}{2}}$ 把值域分成 $n$ 块，每块中间再选一个与边界不同的代表点，这样就能表示 $I_i$ 及其并（与全集 $U$ 的关系）。

时间复杂度 $O(n\log n)$。submission

线段树

题意：给定一棵线段树，根为 $[0,n)$，按先序遍历给出 $n-1$ 个分割点 $x_i$，根的左儿子为 $[0,x_0)$，右儿子为 $[x_0,n)$，其他点类似。

该线段树维护了一个序列的区间和，给出 $m$ 个区间 $[L_i,R_i)$，求能够确定所有给定区间和的子集个数。

其中子集定义为 $2n-1$ 个区间维护的值的 $2^{2n-1}$ 个子集。$2\le n\le {10}^5$。

（第一次知道线段树大小是确定的，稍微证明一下，$n-1$ 个分割点（显然），每次分裂出两个儿子，再加上根。）

考虑指数做法。枚举子集，对于每个被选中的节点 $[l,r)$，$l$ 向 $r$ 连无向边。最后 $[L,R)$ 的和能被表示当且仅当 $L,R$ 在同一连通块。

重要观察：连边是无交的。一条边对应一个区间，线段树上区间要么包含，要么无交（端点不算）。

从下往上处理每个区间，一个区间 $[l,r)$ 怎样才算处理好呢：使与当前区间有关的限制连通或在未来有可能连通。

由于我们已经把 $L,R$ 视作点来考虑连通性了，不需要考虑开闭，$[l,r)$ 表示了 $l\sim r$ 所有点的连通关系，而非 $l\sim r-1$。

如果 $[L,R]\subset [l,r]$（真包含），在 $[l,r]$ 处理完后必须连通，否则后续不可能有边连向 $[l,r]$ 内部。

否则只有一个端点 $x\in [l,r]$，分情况讨论：

• 如果 $l,r$ 连通，后续连边只会连向 $l$ 或 $r$，因此 $x$ 需要至少与一个端点连通。

• 如果 $l,r$ 不连通，设$t$ 表示 $l$ 连通块中的最大编号，不会存在一个 $r$ 连通块的编号小于 $t$，否则有交。

  因此如果 $x\in [l,t]$ 则必须与 $l$ 连通；否则与 $r$ 连通。

必要性显然，考虑充分性。假设当前在合并 $L_i\in [l,mid],R_i\in [mid,r]$ 两个区间（显然两个值不会相同）。

• 两个区间的左右端点都连通，$L,R$ 显然连通。
• 设 $[l,mid]$ 的分割点为 $i$，$[mid,r]$ 的分割点为 $j$。
  • 只有一边连通，假设左边不连通。如果 $L$ 与 $mid$ 连通，合法；否则必须要求 $l,r$ 连通才能使条件合法。
  • 两边都不连通。如果都与 $mid$ 连通，合法；如果 $l,L$ 连通，$r,R$ 连通，必须要求 $l,r$ 连通；否则一定非法。

一定非法的情况是出现 $l,L$ 连通，$mid,R$ 连通，此时不管你连不连 $(l,r)$ 这条边都不能使条件成立。

同时也说明一点：如果 $l,r$ 连通且左右儿子都已经处理完，则该区间一定合法。

设 $x$ 表示 $[l,r)$，$g(x)$ 表示使 $l,r$ 连通的合法方案，$f(x,i)$ 表示 $l,r$ 不连通且 $l$ 连通块中最大标号为 $i$ 的合法方案。合法定义为区间处理完。

转移时考虑 $(l,r)$ 需不需要连边，设 $u$ 表示 $x$ 的左儿子，$v$ 表示右儿子：

1. $2g(u)g(v)\to g(x)$。
2. $g(u)f(v,i)\to g(x),f(u,i)g(v)\to g(x)$。
3. $g(u)f(v,i)\to f(x,i),f(u,i)g(v)\to f(x,i)$。
4. $f(u,i)f(v,j)\to g(x),f(u,i)f(v,j)\to f(x,i)$。

前两种情况由于 $l,r$ 连通，不会有非法转移。第三种情况考虑跨过 $mid$ 且属于 $[l,r)$ 的限制，也是合法的。

唯一非法情况是上面讨论过的，有两个分割线 $i,j$，且存在 $L,R$ 只有一个端点属于 $[i+1,j]$。

如何判断 $[i+1,j]$ 合法？

维护序列 $q$，对于每对 $L_i,R_i$ 随机一个哈希值 $h_i$，$q_{L_i}\leftarrow q_{L_i}\oplus h_i,q_{R_i}\leftarrow q_{R_i}\oplus h_i$，求出前缀异或 $\{a\}$。

$i,j$ 能够转移当且仅当 $a_i=a_j$。

考虑把方程中的 $i$ 用 $a_i$ 替代，相当于 $f^{\prime }(v)\leftarrow \sum [a_i=v]f(i),a_i=v$，转移方程还是正确的：

$$\begin{array}{rl}g(x)& =2g(u)g(v)+g(u)\sum f(v)+\sum f(u)g(v)+\sum f(u,a_i)f(v,a_i)\\ \\ f(x,a_i)& =g(u)f(v,a_i)+f(u,a_i)g(v)+f(u,a_i)f(v,a_i)\end{array}$$

实际上 $g(x)$ 后三项就等于 $\sum f(x)$。$f$ 用线段树合并维护。

答案等于$g(root)+f(root,0)$，$0$ 表示分割线不处于某个限制中间。时间复杂度 $O(n\log n)$。submission

（警示后人：线段树合并两个点都要下传标记）

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